Test sobre Multiplicación de un vector por un escalar y colinealidad

Pregunta 1: La magnitud de un vector resultante de la multiplicación de un vector por un escalar es igual al valor absoluto del escalar multiplicado por la magnitud del vector original.

A. Sí

B. No

Explicación: La definición establece que la magnitud del nuevo vector k·v es el valor absoluto del escalar k multiplicado por la magnitud del vector original v, lo que se representa como |k·v| = |k| · |v|.

Pregunta 2: Según las observaciones en una simulación interactiva sobre la multiplicación de un vector por un escalar, ¿qué sucede con un vector original si el deslizador para el escalar *k* es positivo y se manipula?

A. Si *k* es positivo y aumenta, el vector resultante se alarga, mantiene su dirección y sentido originales, y su magnitud aumenta proporcionalmente a *k*.

B. Si *k* es positivo y disminuye, el vector resultante se acorta, mantiene su dirección y sentido originales, y su magnitud disminuye proporcionalmente a *k*.

C. Si *k* es positivo, la dirección del vector resultante siempre se invierte, sin importar si *k* aumenta o disminuye.

D. Si *k* es positivo, el vector resultante siempre mantiene la misma dirección que el original, pero su sentido siempre se invierte.

Explicación: El material de estudio indica que 'Cuando *k* es positivo y aumenta, el vector resultante se alarga, manteniendo su dirección y sentido originales. Su magnitud aumenta proporcionalmente a *k*.' y también 'Cuando *k* es positivo y disminuye, el vector resultante se acorta, manteniendo su dirección y sentido originales. Su magnitud disminuye proporcionalmente a *k*.' Por lo tanto, las opciones 0 y 1 son correctas. Las opciones 2 y 3 son incorrectas porque la dirección y el sentido del vector se mantienen iguales cuando *k* es positivo, no se invierten.

Pregunta 3: Dos vectores no nulos **u** y **v** son colineales si **u** = *k*·**v** y el escalar *k* es necesariamente un número real positivo.

A. Sí

B. No

Explicación: Según la definición proporcionada, dos vectores no nulos **u** y **v** son colineales si existe un escalar *k* (un número real distinto de cero) tal que **u** = *k*·**v**. La definición especifica que *k* puede ser positivo (mismo sentido) o negativo (sentidos opuestos), pero en ambos casos los vectores son colineales y comparten la misma dirección. Por lo tanto, no es necesario que *k* sea exclusivamente positivo.

Pregunta 4: Si dos vectores colineales tienen el mismo sentido, el escalar *k* que los relaciona necesariamente debe ser negativo.

A. Sí

B. No

Explicación: Según la definición de vectores colineales, si el escalar *k* es positivo, los vectores **u** y **v** tienen el mismo sentido. Por lo tanto, no es necesario que *k* sea negativo para que tengan el mismo sentido.

Pregunta 5: Dados dos vectores en tres dimensiones, \textbf{u} = (u₁, u₂, u₃) y \textbf{v} = (v₁, v₂, v₃), ¿cuál de las siguientes condiciones debe cumplirse para que sean colineales?

A. u₁ \cdot v₁ = u₂ \cdot v₂ = u₃ \cdot v₃

B. u₁ / v₁ = u₂ / v₂ = u₃ / v₃ = k, donde k es un escalar no nulo.

C. u₁ + v₁ = u₂ + v₂ = u₃ + v₃

D. u₁ \cdot u₂ \cdot u₃ = v₁ \cdot v₂ \cdot v₃

Explicación: Según el material de estudio, dos vectores en tres dimensiones, \textbf{u} = (u₁, u₂, u₃) y \textbf{v} = (v₁, v₂, v₃), son colineales si la razón entre sus componentes correspondientes es constante e igual a un escalar k. Es decir, u₁ / v₁ = u₂ / v₂ = u₃ / v₃ = k.