Resumen de Métodos de Integración en Cálculo

## Introducción La integración es una herramienta fundamental del cálculo que permite encontrar áreas, volúmenes, y antiderivadas de funciones. En esta guía repasaremos métodos prácticos de integración: integración por partes, identidades trigonométricas para integrales, sustituciones trigonométricas, fracciones parciales y la sustitución de Weierstrass. Cada sección incluye definiciones, ejemplos resueltos y ejercicios tipo. > Definición: La integral indefinida de una función $f(x)$ es cualquier función $F(x)$ tal que $F'(x)=f(x)$. Se escribe $\int f(x)\,dx=F(x)+C$. ## 1. Integración por partes ### Idea principal La fórmula de integración por partes se deriva de la regla del producto y permite integrar productos de funciones: si $u=u(x)$ y $v=v(x)$ son diferenciables entonces $$\int u\,dv = uv - \int v\,du.$$ Elige $u$ como la parte que se simplifica al derivar y $dv$ como la parte que es fácil de integrar. > Definición: Integración por partes: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. ### Ejemplos resueltos 1) $\int x^{2}\ln(x)\,dx$. Elige $u=\ln(x)$, $dv=x^{2}\,dx$. Entonces $du=\dfrac{1}{x}\,dx$, $v=\dfrac{x^{3}}{3}$. $$\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \int \frac{x^{2}}{3}\,dx$$ $$=\frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C.$$ 2) $\int \theta\cos\theta\,d\theta$. Elige $u=\theta$, $dv=\cos\theta\,d\theta$. Entonces $du=d\theta$, $v=\sin\theta$. $$\int \theta\cos\theta\,d\theta = \theta\sin\theta - \int \sin\theta\,d\theta = \theta\sin\theta + \cos\theta + C.$$ 3) $\int t e^{3t}\,dt$. Elige $u=t$, $dv=e^{3t}\,dt$. Entonces $du=dt$, $v=\dfrac{1}{3}e^{3t}$. $$\int t e^{3t}\,dt = \frac{t e^{3t}}{3} - \int \frac{e^{3t}}{3}\,dt = \frac{t e^{3t}}{3} - \frac{e^{3t}}{9} + C.$$ 4) $\int e^{2\theta}\sin(3\theta)\,d\theta$. Aplica partes dos veces o usa método de los coeficientes: el resultado es $$\int e^{2\theta}\sin(3\theta)\,d\theta = \frac{e^{2\theta}}{13}\left(2\sin(3\theta)-3\cos(3\theta)\right)+C.$$ 5) $\int x e^{2x}(1+2x)^{2}\,dx$. Una estrategia es expandir o elegir $u=(1+2x)^{2}$ y $dv=x e^{2x}\,dx$; con expansión puede simplificarse. Se recomienda expandir y usar integrales conocidas. 6) $\int x\tan^{2}(x)\,dx$. Usa $\tan^{2}(x)=\sec^{2}(x)-1$: $$\int x\tan^{2}(x)\,dx = \int x\sec^{2}(x)\,dx - \int x\,dx.$$ Para $\int x\sec^{2}(x)\,dx$ usa partes con $u=x$, $dv=\sec^{2}(x)\,dx$. ### Fórmulas de reducción Usando partes se prueba por inducción $$\int (\ln(x))^{n}\,dx = x(\ln(x))^{n} - n\int (\ln(x))^{n-1}\,dx.$$ > Did you know que la fórmula de reducción facilita calcular integrales de potencias de logaritmos de manera recursiva y evita repetir el proceso desde cero? ## 2. Integrales con potencias de funciones trigonométricas y dobles ángulos ### Estrategias generales - Si aparecen potencias impares de $\sin$ o $\cos$, separar una copia y usar sustitución con $u=\cos x$ o $u=\sin x$. - Para potencias pares, usar identidades de ángulo doble: $\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$, $\cos^{2}x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$. > Definición: Identidades útiles: $\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$, $\cos^{2}x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$, $\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]$. ### Ejemplos a) $\int \sin^{2}(x)\cos^{3}(x)\,dx$. Separa una $\cos x$: $\cos^{3}x=\cos^{2}x\cos x=(1-\sin^{2}x)\cos x$. Luego $u=\sin x$. b) $\int \cos^{2}\theta\,d\theta$. Usa identidad de ángulo doble: $$\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} + C.$$ c) $\int \sin^{3}(\sqrt{t})\,\sqrt{t}\,dt$. Hacer sustitución $u=\sqrt{t}$, $t=u^{2}$, $dt=2u\,du$ reduce la integral. d) $\int \tan^{2}(x)\,dx$. Usar $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$: $$\int \tan^{2}x\,dx = \int \sec^{2}x\,dx - \int 1\,dx = \tan x - x + C.$$ e) $\int \sin(8x)\cos(5x)\,dx$. Usa identidad product-to-sum: $$\sin(8x)\cos(5x)=\frac{1}{2}\left[\sin(13x)+\sin(3x)\right].$$ f) $\int \sin(3x)\sin(6x)\,dx$. Usa product-to-sum: $$\sin(3x)\sin(6