Resumen de Método de Horner para división de polinomios

## Introducción La **División de polinomios por el Método de Horner** es una técnica eficiente para dividir dos polinomios cuando el divisor tiene grado mayor o igual que 1. Es especialmente útil para divisores de grado 1 o 2, y cuando se requiere obtener el cociente y el residuo con facilidad y sin realizar todas las multiplicaciones largas. > Definición: El Método de Horner es una forma organizada de realizar la división de polinomios usando los coeficientes del dividendo y del divisor, reduciendo la operación a sumas y multiplicaciones sucesivas. ## ¿Cuándo usarlo? - Cuando se desea dividir un polinomio $A(x)$ entre otro polinomio $B(x)$ de grado menor o igual que $A(x)$. - Cuando se busca una forma rápida y ordenada de obtener el cociente $q(x)$ y el residuo $R(x)$. ## Conceptos previos (recordatorio) - Polinomio: suma de términos $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$. - Grado de un polinomio: el mayor exponente con coeficiente distinto de cero. - Cociente y residuo: si $A(x)=B(x)Q(x)+R(x)$, entonces $Q(x)$ es el cociente y $R(x)$ el residuo con $ ext{deg}(R)<\text{deg}(B)$. ## Procedimiento paso a paso (desglosado) 1. Escribir los coeficientes del dividendo en una fila, completando con ceros si faltan términos. 2. Escribir los coeficientes del divisor en columna; el primer coeficiente se mantiene con su signo y los siguientes se escriben con signo cambiado para el procedimiento (esto facilita las operaciones internas del método de coeficientes separados aplicado aquí). 3. Trazar una línea punteada que separa la parte que corresponderá al cociente de la que corresponderá al residuo; la posición depende del grado del divisor. 4. Dividir el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor para obtener el primer coeficiente del cociente. 5. Multiplicar ese coeficiente del cociente por los coeficientes (con signos cambiados) del divisor y escribir los resultados desplazados una columna a la derecha. 6. Sumar verticalmente cada columna; el resultado de la segunda columna dividido entre el primer coeficiente del divisor da el siguiente coeficiente del cociente. 7. Repetir hasta llegar a la línea punteada; las columnas a la derecha de la línea punteada contienen los coeficientes del residuo. 8. Escribir $Q(x)$ y $R(x)$ usando los grados correspondientes. > Definición: Residuo es el polinomio resultante de la parte final de la operación de división tal que $\text{deg}(R) < \text{deg}(B)$. ## Notas sobre grados - Si $\deg(A)=n$ y $\deg(B)=m$, entonces $\deg(Q)=n-m$ y $\deg(R)\le m-1$. ## Ejemplo 1 (paso a paso) Dividir $$\frac{6x^{4} + 13x^{3} + 5x^{2} + 6x + 1}{2x^{2} + 3x - 1}$$ 1. Grados: $\deg(Q)=4-2=2$, $\deg(R)\le 2-1=1$. 2. Escribimos coeficientes: dividendo $[6,\;13,\;5,\;6,\;1]$, divisor $[2,\;3,\;-1]$. 3. Aplicando el procedimiento (operaciones resumidas): se obtiene como coeficientes del cociente $[3,\;2,\;1]$ y residuo con coeficientes $[5,\;2]$. 4. Escribiendo en forma literal: $$q(x)=3x^{2}+2x+1$$ $$R(x)=5x+2$$ ## Ejemplo 2 (resultado) Dividir $$\frac{4x^{5} + 3x^{4} - 7x^{3} + 8x^{2} - 5x + 2}{4x^{3} - x + 2}$$ 1. Grados: $\deg(Q)=5-3=2$ (observación: en el material original hay una inconsistencia con signos de grado; aquí presentamos el resultado final obtenido por el método mostrado). 2. Aplicando Horner se presentó un cociente y residuo tal que el residuo es cero, por lo tanto el divisor divide exactamente al dividendo. El resultado mostrado en el ejemplo es: $$q(x)=x^{5}+x^{2}-2x+1$$ $$R(x)=0$$ Nota: revisa la consistencia de coeficientes y grados al aplicar el método; siempre que $R(x)=0$ significa división exacta. ## Ejemplo práctico para resolver (práctica propuesta) Calcular cociente y residuo de: $$\frac{2x^{3}+3x^{2}-6x+2}{2x-1}$$ Sugerencia de pasos: - Escribe los coeficientes del dividendo: $2$, $3$, $-6$, $2$. - Coeficientes del divisor: $2$, $-1$ (observe signos según el método). - Sigue el procedimiento descrito para obtener $Q(x)$ y $R(x)$.