Resumen de Medidas de Tendencia Central en Estadística

## Introducción Las **medidas de tendencia central** son herramientas estadísticas que resumen un conjunto de datos mediante un valor representativo que indica el centro de la distribución. Estas medidas facilitan la interpretación, comparación y toma de decisiones cuando trabajamos con datos numéricos. > Las medidas de tendencia central buscan un valor típico que represente al conjunto de datos y facilitan la comparación entre grupos. ## ¿Por qué son útiles? - Muestran dónde se ubica un dato promedio o típico del grupo. - Permiten comparar posiciones relativas entre observaciones o entre grupos. - Ayudan a resumir grandes cantidades de datos en un solo valor significativo. ## Principales medidas de tendencia central A continuación se explican las medidas más usadas, con definiciones, fórmulas y ejemplos. ### 1. Media aritmética (promedio) > La **media aritmética** es la suma de los valores de todas las observaciones dividida por el número de observaciones. Fórmula: $$\overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}$$ Ejemplo práctico: - Datos: $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$ (n = 6) - Cálculo: $$\overline{X} = \frac{5+6+7+8+9+10}{6} = \frac{45}{6} = 7.5$$ Aplicaciones reales: - Promedio de calificaciones de un estudiante - Promedio de ventas mensuales ### 2. Mediana > La **mediana** es el valor intermedio cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Si hay un número par de observaciones, es el promedio de los dos valores centrales. Cómo calcularla: 1. Ordenar los datos de menor a mayor. 2. Si $n$ es impar, la mediana es el valor en la posición $(n+1)/2$. 3. Si $n$ es par, la mediana es el promedio de las posiciones $n/2$ y $n/2+1$. Ejemplo: - Datos ordenados: $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ (n = 5 impar) → Mediana = $7$. - Datos ordenados: $5$, $6$, $7$, $8$ (n = 4 par) → Mediana = $$\frac{6+7}{2} = 6.5$$ Aplicaciones reales: - Salarios cuando la distribución tiene valores extremos - Precios de viviendas en una zona con outliers ### 3. Moda > La **moda** es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Ejemplo: - Datos: $5$, $6$, $7$, $7$, $8$, $9$ → Moda = $7$. Notas: - Un conjunto puede ser **amodal** (sin moda), **unimodal** (una moda) o **multimodal** (varias modas). ### 4. Media armónica > La **media armónica** es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos y se usa para promediar tasas o razones. Fórmula: $$\text{Media armónica} = \frac{N}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{X_i}}$$ Ejemplo: - Para velocidades en un recorrido con tramos iguales: si $X_1$, $X_2$ son velocidades, la media armónica da la velocidad promedio efectiva. Aplicaciones reales: - Promediar velocidades, tasas y razones cuando la distancia o el tiempo es igual para cada tramo. ### 5. Media geométrica > La **media geométrica** de números positivos es la n-ésima raíz del producto de los números y se utiliza para promediar crecimientos porcentuales. Fórmula: $$MG = \left(\prod_{i=1}^{n} X_i\right)^{\frac{1}{n}}$$ Ejemplo: - Crecimientos anuales: si las tasas de crecimiento son $1.05$, $1.10$, $0.98$ entonces $$MG = (1.05 \cdot 1.10 \cdot 0.98)^{\frac{1}{3}}$$ Aplicaciones reales: - Promediar porcentajes e índices económicos - Calcular la tasa de crecimiento promedio en ventas o producción ## Tabla comparativa | Medida | Fórmula | Uso principal | Sensibilidad a valores extremos | | --- | ---: | --- | --- | | Media aritmética | $\overline{X} = \frac{\sum X_i}{n}$ | Datos simétricos, promedio general | Alta | | Mediana | Posición central en datos ordenados | Datos con outliers | Baja | | Moda | Valor más frecuente | Datos categóricos o discretos | Variable | | Media armónica | $\dfrac{N}{\sum 1/X_i}$ | Tasas y promedios de razones | Alta si hay valores cercanos a 0 | | Media geométrica | $\left(\prod X_i\right)^{1/n}$ | Crecimientos porcentuales | Moderada | ## Ejemplo completo con frecuencias (tabla dada) Tenemos una distribución por valores $x_i$ con frecuencias absolutas $f_i$: | Dato $x_i$ | Frecuencia $f_i$ | Frecue