Resumen de Medidas de Tendencia Central en Datos Agrupados
Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados: Guía Completa
Introducción
La estadística descriptiva organiza y resume datos para facilitar su interpretación. Cuando los datos se agrupan en clases (intervalos), calculamos medidas de tendencia central como la media, la mediana y la moda usando técnicas adaptadas a tablas de frecuencia por intervalos.
Definición: La media es el promedio ponderado de los puntos medios de los intervalos, la mediana es el valor que divide la distribución en dos partes iguales, y la moda es el valor (o intervalo) con mayor frecuencia.
Conceptos básicos y notación
- Intervalo: rango de valores, por ejemplo $0$--$15$, $15$--$30$.
- Marca de clase ($M_i$): punto medio del intervalo. Si un intervalo es $a$--$b$, entonces $M_i = \frac{a + b}{2}$.
- Frecuencia absoluta ($f_i$): número de datos en el intervalo.
- Frecuencia acumulada ($F_i$): suma de frecuencias hasta ese intervalo.
- Amplitud de clase ($A$): ancho del intervalo, $A = b - a$.
- Número total de datos ($N$): suma de todas las frecuencias.
Definición: La marca de clase resume cada intervalo en un solo valor representativo, $M_i = \frac{a + b}{2}$.
1. Media para datos agrupados
Para datos agrupados en intervalos usamos las marcas de clase como representante del intervalo.
Fórmula: $$\bar{x} = \frac{\sum M_i f_i}{N}$$
Ejemplo aplicado (datos originales proporcionados): Tabla de frecuencias
| Tiempo | $M_i$ | $f_i$ | $F_i$ | $M_i f_i$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$--$15$ | $2{,}5$ | $6$ | $6$ | $45$ |
| $15$--$30$ | $22{,}5$ | $12$ | $18$ | $220$ |
| $30$--$45$ | $32{,}5$ | $14$ | $32$ | $525$ |
| $45$--$60$ | $52{,}5$ | $8$ | $40$ | $420$ |
| Total | $N=40$ | $1260$ |
Cálculo: $$\bar{x} = \frac{\sum M_i f_i}{N} = \frac{1260}{40} = 31{,}5$$
Interpretación: La media estimada del tiempo es $31{,}5$.
2. Mediana para datos agrupados
La mediana corresponde al valor cuya posición es $\frac{N}{2}$-ésima observación. Para intervalos usamos interpolación dentro de la clase mediana.
Fórmula (método de interpolación): $$L_i + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{i-1}}{f_i}\right) \cdot A$$
Donde:
- $L_i$ es el límite inferior de la clase mediana.
- $F_{i-1}$ es la frecuencia acumulada antes de la clase mediana.
- $f_i$ es la frecuencia de la clase mediana.
- $A$ es la amplitud de clase.
Aplicación al ejemplo: $N=40$, entonces $\frac{N}{2}=20$. La clase que contiene la posición 20 es $30$--$45$ porque $F_{i-1}=18$ y $F_i=32$.
Cálculo: $$L_i = 30$$ $$\text{Mediana} = 30 + \left(\frac{20 - 18}{14}\right) \cdot 15 = 30 + \frac{2}{14} \cdot 15 = 30 + 2{,}142857...$$ $$\text{Mediana} \approx 30{,}14$$
Interpretación: La mediana estimada es aproximadamente $30{,}14$.
3. Moda para datos agrupados (moda por interpolación)
Para datos agrupados se usa la clase modal (la de mayor frecuencia) y se interpola con las frecuencias de clases contiguas.
Fórmula: $$\text{Moda} = L_i + \left(\frac{f_i - f_{i-1}}{(f_i - f_{i-1}) + (f_i - f_{i+1})}\right) \cdot A$$
Donde $f_i$ es la frecuencia de la clase modal, $f_{i-1}$ la anterior y $f_{i+1}$ la siguiente.
En el ejemplo la clase modal es $30$--$45$ con $f_i = 14$, $f_{i-1} = 12$, $f_{i+1} = 8$, $L_i = 30$, $A = 15$.
Cálculo: $$\text{Moda} = 30 + \left(\frac{14 - 12}{(14 - 12) + (14 - 8)}\right) \cdot 15 = 30 + \frac{2}{2 + 6} \cdot 15 = 30 + \frac{2}{8} \cdot 15 = 30 + 3{,}75$$ $$\text{Moda} = 33{,}75$$
Interpretación: La moda estimada es $33{,}75$.
Comparación rápida
| Medida | Fórmula (resumen) | Ventaja | Desventaja |
|---|---|---|---|
| Media | $\bar{x} = \frac{\sum M_i f_i}{N}$ | Usa toda la información | Sensible a valores extremos |
| Mediana | $L_i + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{i-1}}{f_i}\right) \cdot A$ | Robusta ante valores extremos | Requiere interpolación |
| Moda | $L_i + \left(\frac{f_i - f_{i-1}}{(f_i - f_{i-1}) + (f_i - f_{i+1})}\right) \cdot A$ | Indica el intervalo más frecuente | Puede no ser única |
Pasos prácticos para resolver problemas con tablas por interva
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Medidas de tendencia central
Klíčová slova: Estadística descriptiva
Klíčové pojmy: Calcular marca de clase $M_i = \frac{a+b}{2}$, Media agrupada $\bar{x} = \frac{\sum M_i f_i}{N}$, Suma de $M_i f_i$ da el numerador para la media, Localizar clase mediana con $\frac{N}{2}$ y $F_i$, Mediana por interpolación: $L_i + \left(\frac{\frac{N}{2}-F_{i-1}}{f_i}\right)\cdot A$, Identificar clase modal como la de mayor $f_i$, Moda por interpolación: $L_i + \left(\frac{f_i-f_{i-1}}{(f_i-f_{i-1})+(f_i-f_{i+1})}\right)\cdot A$, Verificar que $\sum f_i = N$, Usar límites y amplitud de clase correctamente, Media sensible a valores extremos, mediana robusta