Resumen de Medidas de Tendencia Central en Datos Agrupados

## Introducción La **estadística descriptiva** organiza y resume datos para facilitar su interpretación. Cuando los datos se agrupan en clases (intervalos), calculamos medidas de tendencia central como la **media**, la **mediana** y la **moda** usando técnicas adaptadas a tablas de frecuencia por intervalos. > Definición: La media es el promedio ponderado de los puntos medios de los intervalos, la mediana es el valor que divide la distribución en dos partes iguales, y la moda es el valor (o intervalo) con mayor frecuencia. ## Conceptos básicos y notación - **Intervalo**: rango de valores, por ejemplo $0$--$15$, $15$--$30$. - **Marca de clase** ($M_i$): punto medio del intervalo. Si un intervalo es $a$--$b$, entonces $M_i = \frac{a + b}{2}$. - **Frecuencia absoluta** ($f_i$): número de datos en el intervalo. - **Frecuencia acumulada** ($F_i$): suma de frecuencias hasta ese intervalo. - **Amplitud de clase** ($A$): ancho del intervalo, $A = b - a$. - **Número total de datos** ($N$): suma de todas las frecuencias. > Definición: La marca de clase resume cada intervalo en un solo valor representativo, $M_i = \frac{a + b}{2}$. ## 1. Media para datos agrupados Para datos agrupados en intervalos usamos las marcas de clase como representante del intervalo. Fórmula: $$\bar{x} = \frac{\sum M_i f_i}{N}$$ Ejemplo aplicado (datos originales proporcionados): Tabla de frecuencias | Tiempo | $M_i$ | $f_i$ | $F_i$ | $M_i f_i$ | |---|---:|---:|---:|---:| | $0$--$15$ | $2{,}5$ | $6$ | $6$ | $45$ | | $15$--$30$ | $22{,}5$ | $12$ | $18$ | $220$ | | $30$--$45$ | $32{,}5$ | $14$ | $32$ | $525$ | | $45$--$60$ | $52{,}5$ | $8$ | $40$ | $420$ | | **Total** | | **$N=40$** | | **$1260$** | Cálculo: $$\bar{x} = \frac{\sum M_i f_i}{N} = \frac{1260}{40} = 31{,}5$$ Interpretación: La media estimada del tiempo es $31{,}5$. ## 2. Mediana para datos agrupados La mediana corresponde al valor cuya posición es $\frac{N}{2}$-ésima observación. Para intervalos usamos interpolación dentro de la clase mediana. Fórmula (método de interpolación): $$L_i + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{i-1}}{f_i}\right) \cdot A$$ Donde: 1. $L_i$ es el límite inferior de la clase mediana. 2. $F_{i-1}$ es la frecuencia acumulada antes de la clase mediana. 3. $f_i$ es la frecuencia de la clase mediana. 4. $A$ es la amplitud de clase. Aplicación al ejemplo: $N=40$, entonces $\frac{N}{2}=20$. La clase que contiene la posición 20 es $30$--$45$ porque $F_{i-1}=18$ y $F_i=32$. Cálculo: $$L_i = 30$$ $$\text{Mediana} = 30 + \left(\frac{20 - 18}{14}\right) \cdot 15 = 30 + \frac{2}{14} \cdot 15 = 30 + 2{,}142857...$$ $$\text{Mediana} \approx 30{,}14$$ Interpretación: La mediana estimada es aproximadamente $30{,}14$. ## 3. Moda para datos agrupados (moda por interpolación) Para datos agrupados se usa la clase modal (la de mayor frecuencia) y se interpola con las frecuencias de clases contiguas. Fórmula: $$\text{Moda} = L_i + \left(\frac{f_i - f_{i-1}}{(f_i - f_{i-1}) + (f_i - f_{i+1})}\right) \cdot A$$ Donde $f_i$ es la frecuencia de la clase modal, $f_{i-1}$ la anterior y $f_{i+1}$ la siguiente. En el ejemplo la clase modal es $30$--$45$ con $f_i = 14$, $f_{i-1} = 12$, $f_{i+1} = 8$, $L_i = 30$, $A = 15$. Cálculo: $$\text{Moda} = 30 + \left(\frac{14 - 12}{(14 - 12) + (14 - 8)}\right) \cdot 15 = 30 + \frac{2}{2 + 6} \cdot 15 = 30 + \frac{2}{8} \cdot 15 = 30 + 3{,}75$$ $$\text{Moda} = 33{,}75$$ Interpretación: La moda estimada es $33{,}75$. ## Comparación rápida | Medida | Fórmula (resumen) | Ventaja | Desventaja | |---|---|---|---| | Media | $\bar{x} = \frac{\sum M_i f_i}{N}$ | Usa toda la información | Sensible a valores extremos | | Mediana | $L_i + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{i-1}}{f_i}\right) \cdot A$ | Robusta ante valores extremos | Requiere interpolación | | Moda | $L_i + \left(\frac{f_i - f_{i-1}}{(f_i - f_{i-1}) + (f_i - f_{i+1})}\right) \cdot A$ | Indica el intervalo más frecuente | Puede no ser única | ## Pasos prácticos para resolver problemas con tablas por interva