Resumen de Matemáticas para Economía: Conceptos Fundamentales

## Introducción La continuidad y los tipos de límites son conceptos centrales para comprender el comportamiento local de las funciones. En este material revisaremos definiciones formales, límites laterales, límites infinitos, continuidad en puntos e intervalos y la clasificación de discontinuidades, con ejemplos y aplicaciones. ## Conceptos básicos y notación > Definición: Se dice que la función $f$ tiene límite $L$ cuando $x$ tiende a $c$ si para toda sucesión de valores de $x$ diferentes de $c$ que se aproximan a $c$, los valores de $f(x)$ se aproximan a $L$. Notación: $$\lim_{x \to c} f(x) = L$$ > Definición: Límite lateral derecho y izquierdo > Límite lateral derecho: $$\lim_{x \to c^{+}} f(x) = L_{+}$$ > Límite lateral izquierdo: $$\lim_{x \to c^{-}} f(x) = L_{-}$$ Condición de existencia del límite: $$\lim_{x \to c} f(x) = L \text{ existe si y sólo si } L_{+} = L_{-} = L.$$ ### Propiedades útiles de límites (recordadas) - Linealidad: $$\lim_{x\to c} [a f(x) + b g(x)] = a\lim_{x\to c} f(x) + b\lim_{x\to c} g(x).$$ - Producto y cociente (si el denominador no tiende a $0$): $$\lim_{x\to c} f(x) g(x) = \left(\lim_{x\to c} f(x)\right)\left(\lim_{x\to c} g(x)\right),$$ $$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c} f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)}.$$ Fun fact: ¿Sabías que al evaluar límites de polinomios y funciones racionales en puntos donde el denominador no se anula, basta sustituir el valor en la expresión para obtener el límite directamente? ## Límites laterales: interpretación y ejemplos - Si al aproximarnos a $c$ por la derecha obtenemos $L_{+}$ y por la izquierda $L_{-}$, comparamos ambos. - Si $L_{+} \neq L_{-}$, entonces $$\lim_{x \to c} f(x)$$ no existe. Ejemplo 1 (límites laterales distintos): Sea $$f(x)=\begin{cases} -\tfrac{1}{4}x^{2}, & x<0,\\ x+3, & x>0. \end{cases}$$ Calculemos los límites cuando $x\to 0$: $$\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=0,\quad \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=3.$$ Por tanto $$\lim_{x\to 0} f(x)\ \text{no existe}.$$ ## Límites infinitos Cuando $f(x)$ crece sin acotación a medida que $x$ se aproxima a $c$, decimos que el límite es infinito y escribimos por ejemplo $$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^{2}} = \infty.$$ Esto indica comportamiento no acotado, no existencia de un límite finito. Ejemplo 2 (límite infinito): Para $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$, al aproximarnos a $x=2$: $$\lim_{x\to 2^{+}} f(x) = +\infty,\quad \lim_{x\to 2^{-}} f(x) = -\infty,$$ ambos laterales no coinciden en un número real, por lo que $$\lim_{x\to 2} f(x)\ \text{no existe (salto infinito)}.$$ ## Continuidad en un punto > Definición: Una función $f$ es continua en $x=c$ si se cumplen las tres condiciones: > 1. $f(c)$ está definida. > 2. $\lim_{x\to c} f(x)$ existe. > 3. $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$. Ejemplo 3 (función continua en un punto): Para $f(x)=2x-1$, en $x=1$: $$f(1)=1,\quad \lim_{x\to 1} (2x-1)=1,$$ luego $f$ es continua en $x=1$. Ejemplo 4 (discontinuidad evitable): Sea $$g(x)=\begin{cases} x, & x\neq 1,\\ 2, & x=1. \end{cases}$$ Aquí $$\lim_{x\to 1} g(x)=1\neq g(1)=2,$$ por lo tanto hay una discontinuidad evitable en $x=1$ (el límite existe pero la función no toma ese valor). ## Continuidad en intervalos - Una función es continua en un intervalo abierto $(a,b)$ si es continua en todo punto interior. - En un intervalo cerrado $[a,b]$ se requiere además continuidad lateral en los extremos: $$\lim_{x\to a^{+}} f(x)=f(a),\quad \lim_{x\to b^{-}} f(x)=f(b).$$ Ejemplo 5: $f(x)=-x^{2}+4$ es continua en $[-2,2]$ porque es un polinomio (continuo en todo $\mathbb{R}$) y satisface las condiciones en los extremos. ## Clasificación de discontinuidades Tabla comparativa: | Tipo | Condición | Ejemplo | ¿Se puede "arreglar"? | |---|---:|---|---| | Evitable | $\lim_{x\to c} f(x)$ existe pero $f(c)$ no coincide o no está definido | Agujero con valor distinto | Sí (definiendo o redefiniendo $f(c)$) | | Salto finito | $\lim_{x\to c^{+}} f(x)$ y $\lim_{x\to c^{-}} f(x)$ finitos y distintos | Función por tramos con dos valores distintos | No | | Sal