Resumen de Matemáticas Financieras y Evaluación de Inversiones

Matemáticas Financieras y Evaluación de Inversiones: Guía Completa

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Introducción

La materia aborda herramientas de matemáticas financieras aplicadas a la toma de decisiones: cálculo de flujos de caja, valor presente y futuro, VAN (Valor Actual Neto), TIR (Tasa Interna de Retorno), y comparación de alternativas de financiamiento. Este material presenta conceptos esenciales, métodos paso a paso y ejemplos prácticos basados en problemas típicos de evaluación de proyectos y créditos.

Definición: El Valor Actual Neto (VAN) es la suma de los flujos de caja descontados a una tasa de descuento que refleja el costo del capital o la tasa mínima aceptable para el inversionista.

Definición: La Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa que hace que el VAN de un proyecto sea igual a cero.

Conceptos básicos y notación

  • TEA: Tasa Efectiva Anual. Cuando se trabaja con periodos distintos al año, conviene convertir la TEA a la tasa del periodo mediante fórmulas apropiadas.
  • Flujo de caja: entradas (ingresos, recupero de valor) y salidas (inversión inicial, costos, pagos) en momentos específicos.
  • Costo financiero total (CFT): suma de todos los costos financieros asociados a un crédito, expresados habitualmente como monto total pagado o como tasa equivalente.

Conversión de tasas

  • Si se tiene una TEA $i_{a}$ y se desea la tasa efectiva por periodo de $m$ periodos por año (ej. mensual $m=12$), la tasa efectiva por periodo $i_{p}$ se obtiene por:

$$i_{p} = \left(1 + i_{a}\right)^{\frac{1}{m}} - 1$$

  • Para volver de tasa periódica a TEA:

$$i_{a} = \left(1 + i_{p}\right)^{m} - 1$$

Descuento de flujos y fórmula del VAN

  • Dado un flujo $F_{t}$ en el periodo $t$ y una tasa efectiva por periodo $i$, el valor actual es:

$$VAN = -I_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{F_{t}}{\left(1 + i\right)^{t}}$$

donde $I_{0}$ es la inversión inicial (positivo como salida).

Cálculo de la TIR

  • La TIR es la tasa $r$ tal que:

$$0 = -I_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{F_{t}}{\left(1 + r\right)^{t}}$$

  • Se suele resolver mediante métodos numéricos (iteración, regla de signos, o herramientas de hoja de cálculo).

Sistemas de amortización: conceptos rápidos

  • Sistema francés: cuotas constantes; cada cuota combina interés y amortización tal que la suma es constante. Para un préstamo de monto $P$, tasa periódica $i$ y $n$ cuotas, la cuota anual $A$ es:

$$A = P \cdot \frac{i\left(1 + i\right)^{n}}{\left(1 + i\right)^{n} - 1}$$

  • Sistema alemán: amortización constante; la parte de capital amortizada es constante cada periodo y los intereses decrecen, por lo que las cuotas son decrecientes.

Definición: En el sistema francés la cuota es constante; en el sistema alemán la amortización de capital es constante y la cuota disminuye con el tiempo.

Procedimiento estándar para comparar alternativas de crédito o inversión

  1. Identificar todos los flujos relevantes y el calendario (incluyendo comisiones, seguros, gastos, reventas).
  2. Convertir la TEA a la tasa del periodo correspondiente si los pagos son por periodos distintos.
  3. Construir el cuadro de marcha (saldo, intereses, amortización, cuota).
  4. Descontar todos los flujos a valor presente con la tasa adecuada y obtener el VAN del proyecto o costo total.
  5. Calcular la TIR si se desea conocer la rentabilidad implícita.
  6. Comparar alternativas por VAN, por costo financiero total o por criterios complementarios (razón VAN/ inversión, TIR si apropiada).

Ejemplo 1: comparación de dos alternativas de crédito (resumen del enfoque)

Problema tipo: inmueble valor contado $24.000.000$, TEA 25%, Alternativa A: crédito francés 6 años, comisiones 0,5% pagadas en la primera cuota, gastos de escrituración $1.500.000 pagados en la última cuota, seguro 1% del valor del bien pagado mitad en la primera cuota y mitad en la tercera. Alternativa B: sistema alemán 8 años, comisión 0,5%, seguro 1% y gastos $1.500.000 pagados junto con la primera cuota.

Pasos para resolver (sin cálculos numéricos desarrollados aquí):

  1. Calcular la tasa anua
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Matemáticas financieras - Evaluación práctica

Klíčové pojmy: Construir flujos completos incluyendo comisiones, seguros y reventas, Convertir TEA a tasa del periodo antes de descontar flujos, VAN se calcula descontando cada flujo: $VAN=-I_{0}+\sum_{t=1}^{n} \dfrac{F_{t}}{\left(1+i\right)^{t}}$, TIR es la tasa $r$ que satisface $0=-I_{0}+\sum_{t=1}^{n} \dfrac{F_{t}}{\left(1+r\right)^{t}}$, Cuota sistema francés: $A=P\cdot \dfrac{i\left(1+i\right)^{n}}{\left(1+i\right)^{n}-1}$, En sistema alemán amortización de capital constante: $Am=\dfrac{P}{n}$, Usar VAN/Inv.In. para comparar proyectos cuando el capital es limitado, Verificar la periodicidad de la tasa y la de los flujos antes de calcular

## Introducción La materia aborda herramientas de matemáticas financieras aplicadas a la toma de decisiones: cálculo de flujos de caja, valor presente y futuro, VAN (Valor Actual Neto), TIR (Tasa Interna de Retorno), y comparación de alternativas de financiamiento. Este material presenta conceptos esenciales, métodos paso a paso y ejemplos prácticos basados en problemas típicos de evaluación de proyectos y créditos. > Definición: El **Valor Actual Neto (VAN)** es la suma de los flujos de caja descontados a una tasa de descuento que refleja el costo del capital o la tasa mínima aceptable para el inversionista. > Definición: La **Tasa Interna de Retorno (TIR)** es la tasa que hace que el VAN de un proyecto sea igual a cero. ## Conceptos básicos y notación - **TEA**: Tasa Efectiva Anual. Cuando se trabaja con periodos distintos al año, conviene convertir la TEA a la tasa del periodo mediante fórmulas apropiadas. - **Flujo de caja**: entradas (ingresos, recupero de valor) y salidas (inversión inicial, costos, pagos) en momentos específicos. - **Costo financiero total (CFT)**: suma de todos los costos financieros asociados a un crédito, expresados habitualmente como monto total pagado o como tasa equivalente. ### Conversión de tasas - Si se tiene una TEA $i_{a}$ y se desea la tasa efectiva por periodo de $m$ periodos por año (ej. mensual $m=12$), la tasa efectiva por periodo $i_{p}$ se obtiene por: $$i_{p} = \left(1 + i_{a}\right)^{\frac{1}{m}} - 1$$ - Para volver de tasa periódica a TEA: $$i_{a} = \left(1 + i_{p}\right)^{m} - 1$$ ## Descuento de flujos y fórmula del VAN - Dado un flujo $F_{t}$ en el periodo $t$ y una tasa efectiva por periodo $i$, el valor actual es: $$VAN = -I_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{F_{t}}{\left(1 + i\right)^{t}}$$ donde $I_{0}$ es la inversión inicial (positivo como salida). ## Cálculo de la TIR - La TIR es la tasa $r$ tal que: $$0 = -I_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{F_{t}}{\left(1 + r\right)^{t}}$$ - Se suele resolver mediante métodos numéricos (iteración, regla de signos, o herramientas de hoja de cálculo). ## Sistemas de amortización: conceptos rápidos - **Sistema francés**: cuotas constantes; cada cuota combina interés y amortización tal que la suma es constante. Para un préstamo de monto $P$, tasa periódica $i$ y $n$ cuotas, la cuota anual $A$ es: $$A = P \cdot \frac{i\left(1 + i\right)^{n}}{\left(1 + i\right)^{n} - 1}$$ - **Sistema alemán**: amortización constante; la parte de capital amortizada es constante cada periodo y los intereses decrecen, por lo que las cuotas son decrecientes. > Definición: En el **sistema francés** la cuota es constante; en el **sistema alemán** la amortización de capital es constante y la cuota disminuye con el tiempo. ## Procedimiento estándar para comparar alternativas de crédito o inversión 1. Identificar todos los flujos relevantes y el calendario (incluyendo comisiones, seguros, gastos, reventas). 2. Convertir la TEA a la tasa del periodo correspondiente si los pagos son por periodos distintos. 3. Construir el cuadro de marcha (saldo, intereses, amortización, cuota). 4. Descontar todos los flujos a valor presente con la tasa adecuada y obtener el VAN del proyecto o costo total. 5. Calcular la TIR si se desea conocer la rentabilidad implícita. 6. Comparar alternativas por VAN, por costo financiero total o por criterios complementarios (razón VAN/ inversión, TIR si apropiada). ## Ejemplo 1: comparación de dos alternativas de crédito (resumen del enfoque) Problema tipo: inmueble valor contado $24.000.000$, TEA 25%, Alternativa A: crédito francés 6 años, comisiones 0,5% pagadas en la primera cuota, gastos de escrituración $1.500.000 pagados en la última cuota, seguro 1% del valor del bien pagado mitad en la primera cuota y mitad en la tercera. Alternativa B: sistema alemán 8 años, comisión 0,5%, seguro 1% y gastos $1.500.000 pagados junto con la primera cuota. Pasos para resolver (sin cálculos numéricos desarrollados aquí): 1. Calcular la tasa anua