Resumen de Matemáticas Financieras: Inversiones y Préstamos
Matemáticas Financieras: Inversiones y Préstamos - Guía Completa
Introducción
La amortización es el proceso por el cual se devuelve gradualmente un capital prestado mediante pagos periódicos que combinan amortización de capital e intereses. En este material revisaremos dos sistemas de amortización con ejemplos numéricos: el sistema de cuotas fijas de amortización y el sistema de cuotas crecientes, además de conceptos clave y aplicaciones prácticas.
Definición: La amortización es la reducción progresiva del saldo de un crédito mediante pagos periódicos que incluyen la porción destinada a reducir el principal y la porción destinada a pagar intereses.
Conceptos básicos desglosados
Saldo inicial y saldo final
- Saldo inicial: capital pendiente al comienzo de un período.
- Saldo final: saldo inicial menos la cuota de amortización pagada en ese período.
Interés en cada período
- El interés se calcula sobre el saldo inicial del período: $I_t = S_{t-1}\cdot i$, donde $S_{t-1}$ es el saldo inicial y $i$ la tasa de interés periódica.
Pago total del período
- El pago del período es la suma de la cuota de amortización y el interés: $P_t = A_t + I_t$.
Definición: Cuota de amortización es la porción del pago que reduce directamente el capital adeudado.
Sistema 1: Cuotas de amortización fijas
Idea principal
En este sistema la cuota de amortización $A$ es fija en todos los períodos; por tanto, los intereses disminuyen conforme baja el saldo y los pagos totales $P_t$ disminuyen con el tiempo.
Procedimiento
- Determinar la cuota fija de amortización: $A = \dfrac{C_0}{n}$, donde $C_0$ es el capital inicial y $n$ el número de períodos.
- Calcular interés del período: $I_t = S_{t-1}\cdot i$.
- Pago del período: $P_t = A + I_t$.
- Saldo final: $S_t = S_{t-1} - A$.
Ejemplo práctico
Datos: $C_0 = 60000$, $i = 0{,}13$, $n = 10$.
- Cuota fija: $A = \dfrac{60000}{10} = 6000$.
- Primer período: $I_1 = 60000\cdot 0{,}13 = 7800$, $P_1 = 6000 + 7800 = 13800$, $S_1 = 60000 - 6000 = 54000$.
- Segundo período: $I_2 = 54000\cdot 0{,}13 = 7020$, $P_2 = 6000 + 7020 = 13020$, $S_2 = 48000$.
La tabla resultante (resumida) muestra cómo $A$ se mantiene en $6000$, los intereses disminuyen y los pagos totales descienden progresivamente hasta que $S_{10} = 0$.
| Año | Saldo inicial | Interés | Amortización | Pago | Saldo final |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | $60000$ | - | - | - | $60000$ |
| 1 | $60000$ | $7800$ | $6000$ | $13800$ | $54000$ |
| 2 | $54000$ | $7020$ | $6000$ | $13020$ | $48000$ |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 10 | $6000$ | $780$ | $6000$ | $6780$ | $0$ |
Sistema 2: Cuotas crecientes (amortización proporcional)
Idea principal
Las cuotas de amortización aumentan en forma proporcional a factores que dependen de la posición del período. Esto hace que los pagos totales aumenten inicialmente hasta estabilizarse según la estructura.
Factores de capitalización
Se definen los factores $F_k = \dfrac{k}{\sum_{j=1}^{n} j}$ para $k=1,2,\dots,n$, donde $\sum_{j=1}^{n} j = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Definición: Factor de capitalización $F_k$ es la fracción que determina qué porción del capital inicial se amortiza en el período $k$ en el sistema de cuotas crecientes.
Cuota de amortización en el período $k$
- $A_k = F_k \cdot C_0$.
- Interés: $I_k = S_{k-1}\cdot i$.
- Pago: $P_k = A_k + I_k$.
- Saldo final: $S_k = S_{k-1} - A_k$.
Ejemplo práctico
Datos: $C_0 = 60000$, $i = 0{,}13$, $n = 10$.
- Suma de índices: $\sum_{j=1}^{10} j = 55$.
- Factores: $F_1 = \dfrac{1}{55}$, $F_2 = \dfrac{2}{55}$, ..., $F_{10} = \dfrac{10}{55}$.
- Amortización primer año: $A_1 = \dfrac{1}{55}\cdot 60000 = 1091{,} \text{(aprox)}$.
- Interés primer año: $I_1 = 60000\cdot 0{,}13 = 7800$.
- Pago primer año: $P_1 = 1091 + 7800 = 8891$, saldo final $S_1 = 60000 - 1091 = 58909$.
- Segundo año: $A_2 = \dfrac{2}{55}\cdot 600
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Amortización: Sistemas y Ejemplos
Klíčové pojmy: Amortización reduce el capital mediante pagos periódicos, Interés en el período: $I_t = S_{t-1}\cdot i$, Pago total: $P_t = A_t + I_t$, Cuotas fijas: $A = \dfrac{C_0}{n}$, pagos totales decrecientes, Cuotas crecientes: $A_k = \dfrac{k}{\sum_{j=1}^n j}\cdot C_0$, Saldo final: $S_t = S_{t-1} - A_t$, Intereses siempre sobre saldo inicial del período, Elegir sistema según perfil de ingresos del deudor