Resumen de Matemáticas Financieras: Interés Compuesto y Anualidades

## Introducción El interés compuesto es el proceso por el cual los intereses generados por un capital se reinvierten y pasan a generar nuevos intereses. Es fundamental para entender cómo crece una inversión o cómo se acumula una deuda cuando los intereses no se retiran periódicamente. > **Definición:** El interés compuesto es el procedimiento por el cual los intereses se agregan al capital inicial y así el nuevo capital genera más intereses en períodos posteriores. ## Conceptos básicos ### Capital, interés y monto - **Capital ($C$):** la suma de dinero inicial invertida o prestada. - **Interés ($I$):** la ganancia obtenida por la inversión en un período. - **Monto ($M$):** el capital más los intereses acumulados, es decir $M = C + I$. > **Definición:** El monto en interés compuesto después de $n$ periodos se calcula multiplicando el capital por el factor de acumulación. ### Tasas y períodos de capitalización - **TEA:** Tasa Efectiva Anual, expresa el rendimiento anual real. - **Tasa nominal con capitalización periódica:** una tasa anual que se capitaliza en subperíodos; para trabajar con ella convertimos a tasa por periodo. Tabla comparativa de conceptos relacionados: | Concepto | Símbolo | Fórmula por periodo | |---|---:|---| | Capital inicial | $C$ | - | | Monto final | $M$ | $M = C\left(1+i\right)^n$ | | Tasa por periodo | $i$ | $i = \left(1+\text{TEA}\right)^{\frac{1}{m}} - 1$ si TEA es efectiva anual y $m$ es número de periodos por año | > **Definición:** Si una TEA de $r$ se capitaliza $m$ veces por año, la tasa por periodo es $i = \left(1+r\right)^{1/m}-1$ cuando $r$ es efectiva anual. ### Fórmula general del interés compuesto Para $n$ periodos con tasa por periodo $i$: $$M = C\left(1+i\right)^n$$ Donde: - $C$ es el capital inicial. - $i$ es la tasa por periodo (en forma decimal). - $n$ es el número de periodos totales. Si la tasa dada es una TEA $r$ y se capitaliza $m$ veces al año, entonces la tasa por periodo es $i = \left(1+r\right)^{1/m}-1$ y para un plazo de $t$ años el número de periodos es $n = m\,t$. ## Cómo resolver problemas paso a paso 1. Identifica si la tasa dada es TEA o nominal y el tipo de capitalización. 2. Convierte la TEA a tasa por periodo: $i = \left(1+r\right)^{1/m}-1$ si corresponde. 3. Calcula el número de periodos $n$ según el plazo y la frecuencia de capitalización: $n = m\,t$ (si $t$ en años) o convertir meses a años. 4. Aplica la fórmula $M = C\left(1+i\right)^n$ o despeja la variable que necesites (por ejemplo $C = M/\left(1+i\right)^n$ o $n = \dfrac{\ln\left(M/C\right)}{\ln\left(1+i\right)}$). ### Ejemplos prácticos 1) Calcular monto con TEA y capitalización bimestral Problema: Se colocan $600000$ durante $8$ meses con TEA $r=0.4592$ y capitalización bimestral. ¿Cuál es el monto? - Frecuencia: bimestral $\Rightarrow m=6$ periodos por año. - Plazo: $8$ meses $= \dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ años, número de periodos $n = m\,t = 6\cdot \dfrac{2}{3}=4$. - Tasa por periodo: $i = \left(1+r\right)^{1/m}-1 = \left(1+0.4592\right)^{1/6}-1$. - Monto: $$M = 600000\left(1+i\right)^4$$ 2) Calcular capital cuando se conoce el monto Problema: TEA $r=0.315$ con capitalización trimestral ($m=4$) durante $15$ meses; monto $M=1009887.25$. Calcular $C$. - Plazo: $15$ meses $=1.25$ años, $n = 4\cdot 1.25 = 5$. - Tasa por periodo: $i = \left(1+0.315\right)^{1/4}-1$. - Capital: $$C = \dfrac{M}{\left(1+i\right)^n}$$ 3) Calcular tiempo cuando se conoce monto y TEA con capitalización cuatrimestral Problema: Préstamo $C=460000$, monto $M=775127$, TEA $r=0.37$, capitalización cuatrimestral ($m=3$). ¿Cuántos meses duró? - Tasa por periodo: $i = \left(1+0.37\right)^{1/3}-1$. - Número de periodos: $n = \dfrac{\ln\left(M/C\right)}{\ln\left(1+i\right)}$. - Convertir $n$ a meses: cada periodo es $4$ meses, por lo que meses $=4n$. 4) Ejemplo con capitalización mensual y tasa expresada semestral Problema: $C=3500$, plazo $2$ años $8$ meses $=2.666\dots$ años, tasa $8\%$ semestral con capitalización m