Resumen de Matemáticas Esenciales: Probabilidad, Lógica y Números

## Introducción La geometría estudia las propiedades de las figuras en el plano y el espacio. En este material nos enfocaremos en problemas de áreas, semejanza, relaciones entre diagonales y construcciones con triángulos y polígonos regulares. Resolveremos ejercicios tipo prueba que requieren razonamiento visual y uso de fórmulas geométricas básicas. > Definición: La **área** de una figura plana es la medida de la región que ocupa en el plano, generalmente expresada en unidades cuadradas. ## Conceptos clave desglosados ### Triángulos equiláteros - Todas las aristas iguales y todos los ángulos internos miden $60^\circ$. - Altura de un triángulo equilátero de lado $a$: $$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$ - Área: $$A = \frac{1}{2} a h = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ Ejemplo práctico: Si $a=2$, entonces $h=\frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ y $A=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4 = \sqrt{3}$. > Definición: Un **triángulo equilátero** es aquel con tres lados iguales y tres ángulos iguales de $60^\circ$. ### Rombo y sus diagonales - Un rombo es un cuadrilátero con cuatro lados iguales. - Sus diagonales se cortan en ángulo recto y se bisecan mutuamente. - Área de un rombo con diagonales $d_1$ y $d_2$: $$A_{rombo} = \frac{d_1 d_2}{2}$$ Ejemplo práctico: Si $d_1=18$ cm y $d_2=24$ cm, $$A_{rombo} = \frac{18\cdot 24}{2} = 9\cdot 24 = 216\ \text{cm}^2.$$ > Definición: Las **diagonales** de un rombo son segmentos que unen vértices opuestos y se bisecan en ángulo recto. ### Cuadrado y triángulos equiláteros adjuntos - Un cuadrado de área $1\ \text{cm}^2$ tiene lado $s$ tal que $$s^2 = 1\ \Rightarrow\ s=1.$$ - Si se construyen triángulos equiláteros sobre dos lados adyacentes del cuadrado hacia fuera, sus lados miden $1$. - Para hallar el área del triángulo formado por los vértices exteriores, se usa geometría vectorial o descomposición en triángulos conocidos. ### Selección del lado que maximiza el área de un triángulo dado - Dados lados $a$, $b$, $c$, el área se puede calcular por la fórmula de Herón: $$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ - Para lados fijos $a=5$, $b=12$ y variable $x$ con $1<x<15$, el área máxima ocurre cuando el ángulo entre $5$ y $12$ es $90^\circ$ si se puede formar; sin embargo el lado opuesto variable influye. Otra forma: para base $b$ y lados fijos, el área es proporcional a la altura; maximizar $A$ con $x$ implica que $x$ sea lado que permita mayor altura por la ley de los cosenos y restricciones de existencia. ### Problemas de enzacatado (áreas compuestas) - Dividir la figura en polígonos simples (rectángulos, triángulos) para sumar áreas. - Convertir unidades si es necesario y multiplicar por el costo por unidad de área. ### Coloreo mínimo de triángulos adyacentes - Problema de coloración planar donde triángulos que comparten lado deben tener colores diferentes. - Aplicar razonamiento de grafos: cada triángulo es un vértice y hay arista si son adyacentes; cromaticidad del grafo determina número mínimo de colores. > Definición: Dos triángulos son **adyacentes** si comparten un lado común. ## Tabla comparativa: fórmulas básicas | Figura | Fórmula de área | Observaciones | |---|---:|---| | Triángulo equilátero (lado $a$) | $A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ | Altura $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ | | Rombo (diagonales $d_1$, $d_2$) | $A=\frac{d_1 d_2}{2}$ | Diagonales perpendiculares y se bisecan | | Cuadrado (lado $s$) | $A=s^2$ | Si $A=1$, entonces $s=1$ | | Triángulo (Herón) | $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ con $s=\frac{a+b+c}{2}$ | Útil para lados conocidos | ## Estrategias para resolver las preguntas dadas 1. Identificar figuras congruentes o semejantes dentro de la figura mayor. 2. Calcular áreas de piezas elementales y sumar o restar según corresponda. 3. Usar simetría y propiedades de bisectrices/diagonales cuando existan. 4. Para problemas de coloración, modelar la adyacencia como grafo y buscar su número cromático. ## Ejemplos resueltos (basados en los enunciados) 1) Triángulo equilátero dentro de otro: para saber c