Resumen de Introducción a los Cálculos Actuariales

## Introducción Los seguros y las tablas de mortalidad son herramientas fundamentales para evaluar riesgos y calcular primas y beneficios en productos de seguro de vida. En este material revisaremos cómo se interpretan las tablas de mortalidad, las medidas básicas de supervivencia y cómo se calculan costos de seguros típicos: seguro dotal puro, rentas en caso de vida y seguro de muerte pagadero al momento del fallecimiento. > Definición: Una tabla de mortalidad relaciona, para cada edad $x$, el número $l_x$ de miembros de un grupo inicial $l_0$ que alcanzan exactamente la edad $x$. ## Conceptos básicos y notación - $l_0$: tamaño del grupo inicial (por ejemplo $100{,}000$). - $l_x$: número de sobrevivientes del grupo inicial que alcanzan la edad $x$. - $d_x$: número de miembros del grupo inicial que mueren entre las edades $x$ y $x+1$. > Definición: $d_x$ es la diferencia entre los sobrevivientes a la edad $x$ y a la edad $x+1$, es decir $d_x = l_x - l_{x+1}$. ### Interpretación práctica - Si una tabla indica $l_{21}=96{,}000$ cuando $l_0=100{,}000$, significa que del grupo inicial $96{,}000$ alcanzan la edad $21$ y $4{,}000$ han fallecido antes. - Se define $w$ como la edad tal que $l_w=0$; es la edad en la que ya no quedan sobrevivientes del grupo inicial. ## Fórmulas de seguros (visión general) A continuación se presentan las fórmulas principales para calcular el costo (prima teórica) de tres productos básicos. En todas ellas se asume que se parte de un conjunto de contratantes vivos de edad $x$ denotado por $l_x$. ### 1) Seguro dotal puro > Definición: El seguro dotal puro paga un monto fijo $M$ si el asegurado llega con vida a la edad $x+n$. No considera cargas administrativas ni comisiones. La prima teórica se calcula como: $$C(SDP) = M \cdot \left(\frac{l_{x+n}}{l_x}\right) \left(1+\frac{i}{100}\right)^{-n}$$ - $M$: monto a recibir dentro de $n$ años - $i$: tasa de interés anual en porcentaje - $n$: años de diferimiento - $\dfrac{l_{x+n}}{l_x}$: proporción de contratantes originales que alcanzan la edad $x+n$ ### 2) Rentas en caso de vida > Definición: Renta que paga una cantidad fija $M$ anualmente desde la edad $x+n$ mientras el asegurado viva. La prima se expresa por la suma actualizada de los pagos esperados dividida por $l_x$: $$C_{PRV} = \frac{M}{l_x} \sum_{k=1}^{n} \left[v^k \cdot l_{x+k}\right]$$ donde $$v^k = \left(1+\frac{i}{100}\right)^{-k}$$ y $l_{x+k}$ son los sobrevivientes del grupo inicial a la edad $x+k$. Nota: La fórmula presentada aquí corresponde a la versión que suma $k=1$ hasta $n$ según el enunciado; en rentas vitalicias se ajustarían límites según el producto. ### 3) Seguro de muerte pagadero en el momento del fallecimiento > Definición: El seguro paga el monto $M$ a la persona designada en el instante del fallecimiento del asegurado. La prima se calcula usando los fallecimientos esperados $d_{x+k}$ y factores de descuento. En el texto original aparece la expresión: $$C_{PSM_x} = \sqrt{1+i}\; \frac{M}{l_x} \sum_{k=q}^{99-x} \left[d_{x+k} \cdot v^{k+1}\right]$$ donde - $x$: edad actual - $q$: años de diferimiento (minuto desde el cual comienza la cobertura según el enunciado original) - $d_{x+k} = l_{x+k} - l_{x+k+1}$ - $v^{k+1} = \left(1+\frac{i}{100}\right)^{-(k+1)}$ Observación: La raíz cuadrada $\sqrt{1+i}$ aparece en el enunciado original y puede corresponder a una convención de ajuste; siempre revise la convención usada en su curso. ## Tablas comparativas | Producto | Pago | Descuento/Actualización | Usa $l_x$ o $d_x$ | |---|---:|---:|---| | Seguro dotal puro | $M$ al llegar a $x+n$ | $\left(1+\dfrac{i}{100}\right)^{-n}$ | $l_{x+n}/l_x$ | | Renta en caso de vida | $M$ anual desde $x+n$ | $v^k=\left(1+\dfrac{i}{100}\right)^{-k}$ | suma de $l_{x+k}$ | | Seguro de muerte (al fallecer) | $M$ en momento de muerte | $v^{k+1}=\left(1+\dfrac{i}{100}\right)^{-(k+1)}$ | usa $d_{x+k}$ | ## Ejemplos resueltos 1) De los hombres que llegan a los 40 años, ¿qué proporción viv