Resumen de Introducción a los Cálculos Actuariales
Introducción a los Cálculos Actuariales: Guía Completa para Estudiantes
Introducción
Los seguros de vida se apoyan en las tablas de mortalidad para cuantificar probabilidades de supervivencia, calcular primas y determinar montos a pagar. Este material explica cómo leer tablas de mortalidad, las cantidades clave que aparecen en ellas y las fórmulas básicas para tres tipos de seguros: dotal puro, rentas en caso de vida y seguro de muerte pagadero al fallecimiento.
Definición: Una tabla de mortalidad registra, para cada edad $x$, el número $l_x$ de individuos de un grupo inicial $l_0$ que llegan con vida a la edad $x$.
Conceptos básicos de tablas de mortalidad
Grupo inicial y sobrevivientes
- Se parte de un grupo inicial de tama�o $l_0$; no se permiten ingresos adicionales al grupo.
- A la edad $x$ quedan vivos $l_x$ individuos del grupo inicial.
- La tabla finaliza en una edad $w$ tal que $l_w = 0$.
Definición: $l_x$ es la cantidad de personas vivas a la edad $x$ del grupo inicial.
Fallecimientos entre edades enteras
- El número de muertes entre las edades $x$ y $x+1$ se denota $d_x$ y se calcula como:
$$d_x = l_x - l_{x+1}$$
Definición: $d_x$ es el número de personas del grupo inicial que mueren después de cumplir la edad $x$ y antes de cumplir $x+1$.
Probabilidades condicionales básicas
- La probabilidad de que un individuo que llegó a la edad $a$ alcance la edad $b$ $(b\ge a)$ puede expresarse en función de los $l_x$ como:
$$P(X \ge b \mid X \ge a) = \frac{l_b}{l_a}$$
- La probabilidad de morir entre edades $a$ y $b$ (con $b>a$) para quienes alcanzaron $a$ es:
$$P(a \le X < b \mid X \ge a) = \frac{l_a - l_b}{l_a}$$
Tipos de seguros y fórmulas de costo
A continuación se exponen tres seguros habituales y sus fórmulas para calcular el costo o prima pura (sin comisiones ni gastos administrativos).
Notación común
- $M$: monto asegurado o a cobrar
- $x$: edad actual del contratante
- $n$: años hasta el cobro o inicio de la renta
- $i$: tasa de interés anual (en forma decimal, por ejemplo $0.06$)
- $v$: factor de actualización por un año
Definición: $v$ es el factor de actualización con un periodo: $v = \dfrac{1}{1+i}$.
1) Seguro dotal puro
- Descripción: el asegurado pagará ahora y recibirá $M$ si vive hasta la edad $x+n$.
- Fórmula de costo puro:
$$C( SDP ) = M \cdot \left( \frac{l_{x+n}}{l_x} \right) \cdot (1+i)^{-n}$$
- Interpretación: se multiplica el monto $M$ por la probabilidad de sobrevivir $\dfrac{l_{x+n}}{l_x}$ y se descuenta a valor presente con $(1+i)^{-n}$.
2) Rentas en caso de vida
- Descripción: a partir de la edad $x+n$ el asegurado recibe una renta fija anual $M$ por cada uno de los $n$ primeros pagos (o hasta donde la tabla lo indique).
- Fórmula de costo puro (para pagos anuales durante $n$ años, empezando en $x+1$ hasta $x+n$):
$$C_{PRV} = \dfrac{M}{l_x} \sum_{k=1}^{n} v^{k} ; l_{x+k}$$
- Aquí $v^{k} = (1+i)^{-k}$ y $l_{x+k}$ representa los sobrevivientes que recibirán el pago en el año $k$.
3) Seguro de muerte pagadero en el momento del fallecimiento
- Descripción: paga $M$ a la(s) persona(s) designada(s) en el momento en que el asegurado fallece.
- Fórmula de costo puro (suma sobre los posibles años de fallecimiento):
$$C_{PSM_x} = \sqrt{1+i}; \dfrac{M}{l_x} \sum_{k=q}^{99-x} d_{x+k} ; v^{k+1}$$
- Donde $d_{x+k} = l_{x+k} - l_{x+k+1}$ y $q$ indica años de diferimiento si aplica.
Nota: la presencia del factor $\sqrt{1+i}$ en la fórmula debe considerarse según la convención del texto original; en muchos esquemas el ajuste por medio periodo o las convenciones de pago varían entre contratos.
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1: Probabilidad condicional (hombres)
De los hombres que llegan a los 40 años, ¿qué fracción vive 70 o más años?
Se usa:
$$P(X \ge 70 \mid X \ge 40) = \frac{l_{70}}{l_{40}}$$
Si $l_{40}=9377$ y $l_{70}=6274$ entonces
$$P = \frac{6274}{9377} = 0.669$$
El $66.9%$ de los hombres que llegan a 40 años alcanzan 70 años o más.
Ejemplo 2: Probabilidad de mo
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Seguros y Mortalidad
Klíčová slova: Cálculo actuarial, Hipótesis Actuariales, Seguros de vida y tablas de mortalidad
Klíčové pojmy: Una tabla de mortalidad da $l_x$ para cada edad $x$, $d_x = l_x - l_{x+1}$ es muertes entre $x$ y $x+1$, Probabilidad condicional: $P(X\ge b\mid X\ge a)=\dfrac{l_b}{l_a}$, Factor de descuento: $v=(1+i)^{-1}$, Prima dotal puro: $C=M\cdot\dfrac{l_{x+n}}{l_x}(1+i)^{-n}$, Prima renta: $C=\dfrac{M}{l_x}\sum_{k=1}^{n} v^{k} l_{x+k}$, Prima seguro muerte: $C=\sqrt{1+i}\;\dfrac{M}{l_x}\sum d_{x+k} v^{k+1}$, Convierte tasas porcentuales a decimales antes de calcular, Comparar $\dfrac{l_{x+n}}{l_x}$ entre grupos explica diferencias de primas, Verifica siempre unidades y convención de pagos