Resumen de Intervalos de Confianza para la Media Poblacional

## Introducción Los intervalos de confianza son una herramienta fundamental para estimar parámetros poblacionales a partir de datos muestrales. En este material veremos qué es un intervalo de confianza para la media, cuándo usarlo, cómo calcularlo cuando la desviación poblacional es conocida y cómo interpretar los resultados en contextos de salud y ciencias aplicadas. > Definición: Un intervalo de confianza (IC) es un rango de valores plausibles para un parámetro poblacional (por ejemplo la media $\mu$), calculado a partir de una muestra. ## Conceptos básicos desglosados ### Estadístico muestral y parámetro poblacional - **Parámetro poblacional**: valor verdadero que describe la población, p. ej. la media $\mu$. - **Estadístico muestral**: valor calculado de la muestra que estima al parámetro, p. ej. la media muestral $\bar{x}$. ### Interpretación del nivel de confianza > Definición: Un IC del $95\%$ significa que, si repitiéramos el procedimiento de muestreo muchas veces bajo las mismas condiciones, aproximadamente el $95\%$ de los intervalos obtenidos contendrían el verdadero valor de $\mu$. - No significa que haya $95\%$ de probabilidad de que $\mu$ esté dentro del intervalo calculado una vez que el intervalo está fijo. ### Fórmula general del intervalo de confianza para la media (desviación poblacional conocida) - Supuestos: la variable sigue una distribución normal y la desviación estándar poblacional $\sigma$ es conocida. > Fórmula: el IC se calcula como $$IC = \bar{x} \pm \text{Margen de error}$$ - Margen de error: $$EE = z_{\alpha/2} \;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ - Por lo tanto: $$IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Donde: - $\bar{x}$: media muestral - $\sigma$: desviación estándar poblacional (conocida) - $n$: tamaño de la muestra - $z_{\alpha/2}$: valor crítico de la distribución normal estándar asociado al nivel de confianza ### Valores críticos frecuentes | Nivel de confianza | $z_{\alpha/2}$ | |---:|:---:| | $90\%$ | $1.645$ | | $95\%$ | $1.960$ | | $99\%$ | $2.576$ | - A mayor nivel de confianza, mayor $z_{\alpha/2}$ y por tanto el intervalo es más ancho. ## Cómo calcular paso a paso 1. Definir el nivel de confianza (p. ej. $95\%$). Esto determina $z_{\alpha/2}$. 2. Calcular la media muestral $\bar{x}$ y conocer o estimar $\sigma$. 3. Calcular el error estándar: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. 4. Calcular el margen de error: $z_{\alpha/2} \;\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. 5. Construir el intervalo: $\left[\bar{x} - EE,\; \bar{x} + EE\right]$. ## Ejemplos prácticos ### Ejemplo 1: IC al $95\%$ para presión arterial sistólica Problema: Se mide la presión arterial sistólica (mmHg) en $n=100$ adultos sanos. Se conoce por estudios previos que $\sigma = 12$ mmHg. La media muestral es $\bar{x}=118$ mmHg. Calcular el IC del $95\%$ para $\mu$. Cálculo: $$EE = z_{0.025} \;\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.960 \;\frac{12}{\sqrt{100}}$$ $$EE = 1.960 \;\frac{12}{10} = 1.960 \times 1.2 = 2.352$$ Por lo tanto: $$IC = 118 \pm 2.352$$ $$IC = \left[115.648,\;120.352\right]\ \text{mmHg}$$ Interpretación: Con $95\%$ de confianza, la verdadera media poblacional de presión sistólica está entre $115.648$ y $120.352$ mmHg. ### Ejemplo 2: Determinar tamaño muestral para un margen de error dado Problema: Estimar la concentración media de colesterol HDL. Se sabe que $\sigma = 8$ mg/dL. ¿Cuántos pacientes se necesitan para que el margen de error sea menor que $E=2$ mg/dL con $95\%$ de confianza? Fórmula para $n$: $$n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2} \;\sigma}{E}\right)^2$$ Cálculo: $$n = \left(\dfrac{1.960 \times 8}{2}\right)^2$$ $$n = \left(\dfrac{15.68}{2}\right)^2 = \left(7.84\right)^2 = 61.4656$$ Respuesta: se necesitan al menos $62$ pacientes (siempre redondear hacia arriba al entero siguiente). ## Tablas comparativas | Concepto | Efecto en el IC | |---|---| | Aumentar $n$ | Reduce el margen de error y estrecha el IC | | Aumentar nivel de confianza | Aumenta $z_{\alpha/2}$ y ensancha el IC | | Aumentar $\sigma$ | Aumenta