Resumen de Interés Simple y Cálculos Financieros

## Introducción El tema "Descuento y interés simple" estudia cómo se valora el dinero en el tiempo cuando las operaciones financieras se realizan con **interés simple** y con **descuento** (tanto comercial como racional). Aquí veremos conceptos clave, procedimientos para calcular valores presentes y futuros, y ejemplos prácticos para resolver problemas típicos como los planteados en ejercicios de pagarés, refinanciaciones y sustitución de documentos. > **Definición:** El **interés simple** es aquel donde los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial; la fórmula general del monto es $M = C\left(1 + it\right)$, donde $C$ es capital, $i$ la tasa por unidad de tiempo y $t$ el tiempo. > **Definición:** El **descuento comercial** (o bancario) descuenta el valor nominal directamente por el interés correspondiente al tiempo restante hasta el vencimiento: $D = N\,i\,t$ y el valor efectivo es $A = N - D$. > **Definición:** El **descuento racional** (o descuento financiero) calcula el valor presente como el valor que acumulado al tipo de interés hasta el vencimiento da el nominal: $A = \dfrac{N}{1 + i\,t}$. ## Conceptos básicos desglosados ### Tiempo y tasas - La tasa anual $i_{a}$ debe convertirse a la unidad de tiempo usada (meses, días, trimestres). Por ejemplo, para meses: $i_{m} = \dfrac{i_{a}}{12}$. Para días, si se considera año de 360 días: $i_{d} = \dfrac{i_{a}}{360}$. - Siempre indicar la unidad de tiempo en $t$ (años, meses, días, trimestres) y usar la misma unidad en la tasa. ### Interés simple: monto y valor presente - Monto: $$M = C\left(1 + i\,t\right)$$ - Valor presente (descuento del monto a fecha anterior con interés simple): $$C = \dfrac{M}{1 + i\,t}$$ ### Tipos de descuento Tabla comparativa: | Concepto | Fórmula valor actual | Observación | |---|---:|---| | Descuento comercial (bancario) | $A = N\left(1 - i\,t\right)$ | Se resta el interés sobre el nominal | Descuento racional (financiero) | $A = \dfrac{N}{1 + i\,t}$ | Valor que al capitalizar da $N$ | ### Conversión de tasas - De anual a trimestral: $i_{trimestral} = \dfrac{i_{anual}}{4}$ - De anual a mensual: $i_{mensual} = \dfrac{i_{anual}}{12}$ - De anual a diaria (año comercial de 360 días): $i_{diario} = \dfrac{i_{anual}}{360}$ Fun fact: ¿Sabías que la práctica del descuento de pagarés en bancos es una forma histórica de anticipar liquidez y fue clave para el financiamiento del comercio en los siglos XVII-XIX? ## Procedimientos habituales y ejemplos prácticos ### 1) Descontar un pagaré (banco cobra y entrega efectivo) - Si se aplica **interés simple** como descuento comercial: calcular $t$ en años, $i$ anual convertido, y usar $A = N\left(1 - i\,t\right)$. - Si se aplica **descuento racional**: usar $A = \dfrac{N}{1 + i\,t}$. Ejemplo práctico (modelo): Un pagaré $N$ vence en una fecha futura y se descuenta $t$ años antes con tasa anual $i$. Valor recibido $A = \dfrac{N}{1 + i\,t}$ (racional) o $A = N\left(1 - i\,t\right)$ (comercial). ### 2) Cancelación de deuda con pagos parciales (valor equivalente) - Llevar todos los pagos a una misma fecha focal usando la fórmula del valor presente o monto según corresponda. - Para pasar un pago futuro $P$ a la fecha focal anterior: $$P_{focal} = \dfrac{P}{1 + i\,t}$$ - Para adelantar un pago pasado a la fecha focal futura: $$P_{focal} = P\left(1 + i\,t\right)$$ Ejemplo: Deuda $D$ pagada con $P_{1}$ a $t_{1}$ y $P_{2}$ a $t_{2}$. Para que equivalgan a la fecha inicial: $$D = \dfrac{P_{1}}{1 + i\,t_{1}} + \dfrac{P_{2}}{1 + i\,t_{2}}$$ o para la fecha final sumar montos. ### 3) Sustitución de varios documentos por uno solo - Elegir fecha focal (p. ej. fecha del nuevo documento), llevar cada nominal $N_{k}$ a esa fecha con descuento racional: $$A_{k} = \dfrac{N_{k}}{1 + i\,t_{k}}$$ - Sumar valores presentes y luego capitalizar al vencimiento del nuevo documento si éste no coincide con la focal. Ejemplo: cuatro pagarés con distintos vencimientos se sustituyen por uno a 75 días; convertir