Test sobre Integrales Múltiples y Cambio de Variables
Integrales Múltiples y Cambio de Variables: Guía Completa
Cálculo en varias variables
20 preguntas
Pregunta 1: La región Ω, para calcular la integral triple de z dV, limitada por los planos x + y + z = 1, z = 0, y = 0, x = 0, es un sólido acotado por planos.
A. Sí
B. No
Explicación: El problema 4 de la sección II de 'Integrales Triples' en los materiales de estudio describe explícitamente la región Ω como limitada por los planos x + y + z = 1, z = 0, y = 0 y x = 0, los cuales definen un sólido en el espacio.
Pregunta 2: En el problema 9 de la sección II, la integral triple iterada se presenta con el orden de integración d z d x d y.
A. Sí
B. No
Explicación: La integral triple iterada en el problema 9 de la sección II tiene el orden de integración d z d y d x.
Pregunta 3: En el problema de calcular la integral triple sobre la región Ω encerrada por el elipsoide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1, el integrando (1 - x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2) está elevado a la potencia de 1/2.
A. Sí
B. No
Explicación: Según el problema III.8 de las Integrales Triples, la integral sobre la región Ω encerrada por el elipsoide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 tiene el integrando (1 - x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2) elevado a la potencia de 3/2, no de 1/2.
Pregunta 4: Para evaluar la integral triple del ejercicio III.2, la aplicación de un cambio de variable lineal simplifica su resolución.
A. Sí
B. No
Explicación: La integral triple en el ejercicio III.2 tiene un integrando (x + y + z)(x + y - z)(x - y - z) y una región de integración (un tetraedro limitado por planos como x + y + z = 0, x + y - z = 0, y 2x - y = 1) que están definidos por combinaciones lineales de x, y, y z. Esto sugiere que un cambio de variable lineal, transformando estas combinaciones en nuevas variables, simplificará significativamente tanto el integrando como los límites de integración.
Pregunta 5: La región de integración cuadrilátera Ω, definida por los vértices (2,0), (4,2), (2,4) y (0,2) para el cálculo de la integral doble en el problema I.8, se encuentra en el segundo cuadrante del plano XY.
A. Sí
B. No
Explicación: La región Ω tiene vértices (2,0), (4,2), (2,4) y (0,2). Todos estos puntos tienen coordenadas x ≥ 0 e y ≥ 0, lo que indica que la región se encuentra completamente en el primer cuadrante del plano XY, no en el segundo cuadrante.