Resumen de Integrales Múltiples y Cambio de Variables

## Introducción El cálculo en varias variables extiende las herramientas del cálculo diferencial e integral a funciones de dos o más variables. En esta guía nos centramos en integrales dobles y triples, cambios de variables (coordenadas polares, cilíndricas y esféricas) y aplicaciones como cálculo de volúmenes, centros de masa y momentos. > Definición: Una integral múltiple generaliza la integral definida a funciones de varias variables y se interpreta geométricamente como volumen bajo una superficie o como suma continua sobre una región. ## Conceptos básicos ### 1. Integrales dobles - Una integral doble sobre una región $\Omega$ se escribe $\iint_{\Omega} f(x,y)\,dA$. - Si la región es tipo I (vertical), se escribe $\iint_{\Omega} f(x,y)\,dA=\int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$. - Si la región es tipo II (horizontal), se escribe $\int_{y=c}^{d}\int_{x=h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$. > Definición: Región tipo I es aquella donde los límites en $y$ dependen de $x$. Región tipo II es análoga con roles invertidos. ### 2. Coordenadas polares - Cambio: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $dA=r\,dr\,d\theta$. - Útil para regiones circulares o con simetría radial. ### 3. Integrales triples - Una integral triple sobre $\Omega$ se escribe $\iiint_{\Omega} f(x,y,z)\,dV$. - Dependiendo de la descripción de $\Omega$, se elige el orden de integración conveniente: $dz\,dy\,dx$, $dx\,dy\,dz$, etc. > Definición: El elemento de volumen en coordenadas cartesianas es $dV=dx\,dy\,dz$. En coordenadas cilíndricas $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$. En coordenadas esféricas $dV=\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$. ### 4. Coordenadas cilíndricas y esféricas - Cilíndricas: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$, $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$. - Esféricas: $x=\rho\sin\phi\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta$, $z=\rho\cos\phi$, $dV=\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$. ## Estrategia para resolver integrales múltiples 1. Dibujar la región $\Omega$ o describirla algebraicamente. 2. Elegir el sistema de coordenadas apropiado (cartesiano, polar, cilíndrico, esférico). 3. Determinar los límites de integración. 4. Incluir el factor jacobiano: $r$ en polares/cilíndricas, $\rho^{2}\sin\phi$ en esféricas. 5. Integrar en el orden que simplifique el cálculo. ## Ejemplos prácticos ### Ejemplo 1: Integral doble en un cuarto de disco Calcular $\iint_{\Omega} e^{-(x^{2}+y^{2})} dA$, donde $\Omega$ es el primer cuadrante dentro del círculo $x^{2}+y^{2}=4$. - Usar coordenadas polares: $r\in[0,2]$, $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$. $$\iint_{\Omega} e^{-(x^{2}+y^{2})} dA=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2} e^{-r^{2}} r\,dr\,d\theta$$ - Integrar en $r$: $$\int_{0}^{2} e^{-r^{2}} r\,dr=\left[-\tfrac{1}{2} e^{-r^{2}}\right]_{0}^{2}=\tfrac{1}{2}\left(1-e^{-4}\right)$$ - Integrar en $\theta$: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tfrac{1}{2}\left(1-e^{-4}\right) d\theta=\tfrac{\pi}{4}\left(1-e^{-4}\right)$$ ### Ejemplo 2: Volumen bajo un plano sobre el primer octante Calcular $\iiint_{\Omega} z\,dV$ para la región limitada por $x\ge 0$, $y\ge 0$, $z\ge 0$, $x+y+z=1$. - En orden $dz\,dy\,dx$: $x\in[0,1]$, $y\in[0,1-x]$, $z\in[0,1-x-y]$. $$\iiint_{\Omega} z\,dV=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} z\,dz\,dy\,dx$$ - Integrar en $z$: $$\int_{0}^{1-x-y} z\,dz=\tfrac{1}{2}(1-x-y)^{2}$$ - Luego integrar en $y$ y $x$ (procedimiento estándar) para obtener el resultado $\tfrac{1}{24}$. ### Ejemplo 3: Integrales con cambio a cilíndricas Calcular $\iiint_{\Omega} (3z+xz)\,dV$ donde $\Omega$ está dentro del cilindro $x^{2}+z^{2}=9$, y limitado por los planos $x+y=3$, $z=0$, $y=0$. - Usar coordenadas cilíndricas: $x=r\cos\theta$, $z=r\sin\theta$, $y=y$, $dV=r\,dr\,d\theta\,dy$. - Identificar límites según intersecciones con $x+y=3$ y $y\ge 0$, $z\ge 0$. > Consejo: dibujo y simetría ayudan a reducir errores en los límites. ## Tablas de comparación | Concepto | Cambio de variable | Elemento diferencial | Uso típico | |---|---:|---|---| | Cartesianas | $x,y,