Test sobre Integrales Dobles y Sumas de Riemann

Pregunta 1: La suma de Riemann para aproximar el volumen de un sólido bajo una superficie z = f(x,y) sobre un rectángulo R siempre se calcula utilizando los valores máximos de la función en cada subrectángulo.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Las sumas de Riemann para aproximar el volumen se construyen eligiendo puntos arbitrarios ξ i j en cada subrectángulo. Solo la suma superior de Riemann, que es un caso particularmente importante, utiliza el valor máximo (supremum) de la función en cada subrectángulo.

Pregunta 2: La suma inferior de Riemann s(P, f) para una función f acotada sobre un rectángulo R se calcula utilizando el ínfimo de la función en cada subrectángulo R_ij.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La definición de la suma inferior de Riemann s(P, f) establece que s(P, f) = ∑∑ f(ξ*ij) Area(R_ij), donde ξ*ij = ínf {f(ξ_ij)} para ξ_ij en R_ij. Esto indica que se utiliza el ínfimo de la función en cada subrectángulo.

Pregunta 3: Dada la función f(x, y) = x^2 + y^2 sobre el rectángulo R = [0, 1] × [0, 1] y la partición P1, donde las colecciones de puntos son x0 = 0, x1 = 1/3, x2 = 1 e y0 = 0, y1 = 2/3, y2 = 1. Utilizando los valores de los supremos de f en cada subrectángulo proporcionados en el material de estudio, ¿cuál es el valor de la suma superior de Riemann S(P1, f)?

A. 4/3

B. 2/9

C. 46/9

D. 82/81

Explicación: El material de estudio define la suma superior S(P, f) como la doble sumatoria de f(ξ**_ij) multiplicada por el Área(R_ij), donde ξ**_ij es el supremo de la función en cada subrectángulo R_ij. Primero, identificamos los subrectángulos de la partición P1 y calculamos sus áreas: R11 = [0, 1/3] × [0, 2/3], Área(R11) = (1/3 - 0) * (2/3 - 0) = 2/9. R21 = [1/3, 1] × [0, 2/3], Área(R21) = (1 - 1/3) * (2/3 - 0) = (2/3) * (2/3) = 4/9. R12 = [0, 1/3] × [2/3, 1], Área(R12) = (1/3 - 0) * (1 - 2/3) = (1/3) * (1/3) = 1/9. R22 = [1/3, 1] × [2/3, 1], Área(R22) = (1 - 1/3) * (1 - 2/3) = (2/3) * (1/3) = 2/9. Según el ejemplo en el material, los valores de los supremos de f(x,y) = x^2 + y^2 en cada subrectángulo son: sup(R11) = 5/9 sup(R21) = 13/9 sup(R12) = 10/9 sup(R22) = 2 Ahora calculamos la suma superior S(P1, f): S(P1, f) = (5/9)*(2/9) + (13/9)*(4/9) + (10/9)*(1/9) + (2)*(2/9) S(P1, f) = 10/81 + 52/81 + 10/81 + 36/81 S(P1, f) = (10 + 52 + 10 + 36) / 81 = 108 / 81 = 4/3.

Pregunta 4: Dada la función f(x, y) = x^2 + y^2 definida sobre el rectángulo R = [0, 1] × [0, 1], y la partición P1 con puntos x_0 = 0, x_1 = 1/3, x_2 = 1 e y_0 = 0, y_1 = 2/3, y_2 = 1. Considere el subrectángulo R_12, que se forma con los intervalos [x_0, x_1] y [y_1, y_2]. ¿Cuál es el valor del supremo de f(x, y) en este subrectángulo R_12?

A. 4/9

B. 10/9

C. 5/9

D. 13/9

Explicación: El subrectángulo R_12 está definido por [x_0, x_1] × [y_1, y_2], que corresponde a [0, 1/3] × [2/3, 1]. Para la función f(x, y) = x^2 + y^2, el supremo en este subrectángulo se alcanza en el punto (x, y) donde x y y son máximos en sus respectivos intervalos. Así, sup(x, y) ∈ R_12 {f(x, y)} = (1/3)^2 + 1^2 = 1/9 + 1 = 1/9 + 9/9 = 10/9.

Pregunta 5: Para la función no integrable f(x,y) definida como 1 si x es racional y 0 si x es irracional sobre el rectángulo R = [0, 1] × [0, 1], la integral inferior es 1.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según los materiales de estudio, para la función no integrable dada, la integral inferior sobre R = [0, 1] × [0, 1] es 0.