Resumen de Integrales Dobles y Sumas de Riemann

## Introducción Las integrales dobles permiten calcular cantidades asociadas a funciones de dos variables, como áreas, volúmenes y masas superficiales. En este material revisaremos cómo se definen las integrales dobles sobre rectángulos mediante particiones y sumas de Riemann, y cómo usar las sumas superior e inferior para estudiar la integrabilidad. ## 1. Particiones de un rectángulo Sea $R = \left[ a, b \right]\times\left[ c, d \right]\subset \mathbb{R}^2$. Una partición de $R$ se obtiene mediante particiones de los intervalos $\left[ a, b \right]$ y $\left[ c, d \right]$: - Partición en $x$: $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_m = b$. - Partición en $y$: $c = y_0 < y_1 < \cdots < y_n = d$. Cada par de subintervalos determina un subrectángulo $$R_{ij} = \left[ x_{i-1}, x_i \right]\times\left[ y_{j-1}, y_j \right],$$ para $i=1,\dots,m$, $j=1,\dots,n$. En total hay $m\cdot n$ subrectángulos que forman la partición. > Definición: Una partición $P$ de $R$ es la colección de subrectángulos $\{R_{ij}\}$ obtenida de las particiones en $x$ e $y$. ### Ejemplo de particiones Para $R = \left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$ se pueden tomar, por ejemplo: - $P_1$: $x_0=0$, $x_1=1/3$, $x_2=1$; $y_0=0$, $y_1=2/3$, $y_2=1$. - $P_2$: $x_0=0$, $x_1=1/4$, $x_2=1/2$, $x_3=3/4$, $x_4=1$; $y_0=0$, $y_1=1/4$, $y_2=1/2$, $y_3=3/4$, $y_4=1$. Estos dos ejemplos generan particiones con $2\times2$ y $4\times4$ subrectángulos respectivamente. ## 2. Sumas de Riemann para funciones de dos variables Sea una función acotada $f\colon R\to\mathbb{R}$. Para cada subrectángulo $R_{ij}$ elegimos un punto arbitrario $\xi_{ij}=\left(x^*_{ij},y^*_{ij}\right)\in R_{ij}$. Definimos $$\Delta x_i = x_i - x_{i-1},\quad \Delta y_j = y_j - y_{j-1},$$ y construimos el término $$f(\xi_{ij})\,\Delta x_i\,\Delta y_j$$ que corresponde al volumen del paralelepípedo aproximando el sólido bajo la gráfica de $f$ sobre $R_{ij}$. La suma de Riemann asociada a la partición $P$ y a la elección de puntos $\{\xi_{ij}\}$ es $$S(f,P,\{\xi_{ij}\})=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(\xi_{ij})\,\Delta x_i\,\Delta y_j.$$ Intuitivamente, cuando $m,n\to\infty$ y las mallas de la partición se hacen pequeñas, estas sumas aproximan mejor el valor del volumen total bajo la superficie. > Definición: La suma de Riemann $S(f,P,\{\xi_{ij}\})$ es la suma de los volúmenes de los paralelepípedos con base $R_{ij}$ y altura $f(\xi_{ij})$. ## 3. Suma superior y suma inferior de Riemann Para una función acotada $f$ y una partición $P$ definimos en cada subrectángulo los extremos: - $M_{ij} = \sup\{ f(x,y)\colon (x,y)\in R_{ij}\}$. - $m_{ij} = \inf\{ f(x,y)\colon (x,y)\in R_{ij}\}$. Entonces la **suma superior** y **suma inferior** son $$S(P,f)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} M_{ij}\,\Delta x_i\,\Delta y_j,$$ $$s(P,f)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} m_{ij}\,\Delta x_i\,\Delta y_j.$$ > Definición: La suma superior $S(P,f)$ usa el supremo en cada subrectángulo y la suma inferior $s(P,f)$ usa el ínfimo en cada subrectángulo. Estas sumas son útiles porque para cualquier partición $P$ se cumple $$s(P,f)\le S(f,P,\{\xi_{ij}\})\le S(P,f).$$ Si al refinar las particiones las sumas superior e inferior se acercan a un mismo número, decimos que $f$ es integrable y ese número es la integral doble sobre $R$. ## 4. Ejemplo concreto Sea $f(x,y)=x^2+y^2$ definida en $R=\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$. Para la partición $P_1$ con divisiones en $x$ en $\{0,1/3,1\}$ y en $y$ en $\{0,2/3,1\}$ se calculan los extremos en cada $R_{ij}$: - En $R_{11}$: $m_{11}=f(0,0)=0$, $M_{11}=f(1/3,2/3)=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{5}{9}$. - En $R_{21}$: $m_{21}=f(1/3,0)=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$, $M_{21}=f(1,2/3)=1^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{13}{9}$. - En $R_{12}$: $m_{12}=f(0,2/3)=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$, $M_{12}=f(1/3,1)=\left(\frac{1}{3}\right)^2+1^2=\frac{10}{9}$. - En $R_{22}$: $m_{22}=f(1/3,2/3)=\frac{5}{9}$, $M_{22}=f(1,1)=2$. Con estas cantidades se forman las