Test sobre Integrales de Línea en Campos Vectoriales

Pregunta 1: La integral de línea de un campo vectorial sobre una curva seccionalmente regular es igual a la integral sobre únicamente la primera de sus curvas componentes (γ1).

A. Ano

B. Ne

Explicación: La definición establece que la integral de línea sobre una curva seccionalmente regular (γ) es la suma de las integrales de línea sobre cada una de sus curvas componentes simples, regulares y suaves (γ = γ1 + γ2 + ... + γk), no solo sobre la primera. Esto se expresa como la suma desde i=1 hasta k de las integrales sobre γi.

Pregunta 2: Según el ejemplo proporcionado en los materiales de estudio, ¿cuál es la tarea principal solicitada con respecto al campo vectorial ⃗ F y la curva γ?

A. Calcular la integral de línea de ⃗ F sobre γ.

B. Encontrar la divergencia del campo vectorial ⃗ F.

C. Determinar si la curva γ es cerrada.

D. Parametrizar las superficies que definen la curva γ.

Explicación: El ejemplo establece explícitamente: 'Calcular la integral de l´ ınea Z γ ⃗ F · d ⃗ r', lo que indica que la tarea principal es la evaluación de la integral de línea del campo vectorial sobre la curva dada.

Pregunta 3: El flujo a lo largo de una curva γ desde un punto A hasta un punto B es siempre denominado circulación.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La circulación se define específicamente como el flujo a lo largo de una curva γ solo si esta curva es cerrada. Para una curva general que va de un punto A a un punto B, se denomina flujo, no necesariamente circulación.

Pregunta 4: Para la integral de línea de un campo vectorial, se requiere que la curva sea simple, regular y suave, y que el campo vectorial sea continuo.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La definición establece que para la integral de línea de un campo vectorial, la curva (γ) debe ser simple, regular y suave, y el campo vectorial (⃗F) debe ser continuo.

Pregunta 5: Según las definiciones proporcionadas en el material de estudio, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones sobre las aplicaciones de la integral de línea de un campo vectorial son correctas?

A. Cuando el campo vectorial ⃗F representa una fuerza y la curva γ representa un alambre, la integral de línea calcula el flujo a lo largo de γ.

B. Cuando el campo vectorial ⃗F representa un continuo de velocidades y la curva γ es cerrada, la integral de línea se denomina circulación a lo largo de γ.

C. Cuando el campo vectorial ⃗F representa una fuerza y la curva γ representa una varilla, la integral de línea calcula el trabajo realizado por ⃗F sobre el objeto.

D. Cuando el campo vectorial ⃗F representa un continuo de velocidades y la curva γ es simple, regular y suave, la integral de línea siempre se denomina circulación.

Explicación: La definición establece que si ⃗F representa un continuo de velocidades y la curva γ es cerrada, el flujo se denomina circulación. Por lo tanto, la opción 1 es correcta. También, la definición indica que si γ representa un alambre, cuerda, varilla o resorte y ⃗F es una fuerza, el trabajo realizado por ⃗F sobre el objeto está dado por la integral de línea. Por lo tanto, la opción 2 es correcta. La opción 0 es incorrecta porque si ⃗F es una fuerza sobre un alambre, se calcula el trabajo, no el flujo. La opción 3 es incorrecta porque la integral de un campo de velocidades sobre una curva simple, regular y suave en general se denomina flujo, y solo si la curva es cerrada se le llama circulación.