Integrales de Línea en Campos Vectoriales: Guía Completa
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Pregunta: ¿Cómo se define el trabajo realizado por un campo vectorial F sobre un objeto representado por una curva γ parametrizada por r(t)?
Respuesta: W = ∫_γ F·dr = ∫_a^b F(r(t))·(dr/dt)(t) dt.
Pregunta: En el ejemplo dado, ¿cuál es la parametrización r(t) de la curva y su derivada dr/dt?
Respuesta: r(t) = (t, t^2, t^3), t∈[0,1]; dr/dt = (1, 2t, 3t^2).
Pregunta: Para el mismo ejemplo, ¿qué expresión tiene el campo de fuerzas F(x,y,z) y cuál es F(r(t))?
Respuesta: F(x,y,z) = (z, y, x); entonces F(r(t)) = (t^3, t^2, t).
Pregunta: Calcula el producto escalar F(r(t))·(dr/dt) usado para obtener el trabajo en el ejemplo.
Respuesta: F(r(t))·(dr/dt) = (t^3, t^2, t)·(1,2t,3t^2) = t^3 + 2t^3 + 3t^3 = 6t^3.
Pregunta: ¿Cuál es el valor numérico del trabajo W en el ejemplo al integrar sobre t∈[0,1]?
Respuesta: W = ∫_0^1 6t^3 dt = (6)(1/4) = 3/2.
Pregunta: ¿Qué condiciones deben cumplirse en Ω, γ, r y F para definir el trabajo o flujo mediante la integral de línea según las definiciones?
Respuesta: Ω abierto en R^N; γ curva simple, regular y suave en Ω; r:[a,b]→R^N es C^1, parametrización simple y regular; F:Ω→R^N campo vectorial continuo (o que
Pregunta: ¿Cómo se define el flujo a lo largo de una curva γ desde A=r(a) hasta B=r(b)?
Respuesta: Flujo = ∫_γ F·dr = ∫_a^b F(r(t))·(dr/dt)(t) dt, cuando F representa un campo de velocidades.
Pregunta: ¿Qué término se usa cuando la curva γ es cerrada y se calcula ∫_γ F·dr en el contexto de un campo de velocidades?
Respuesta: Se denomina circulación a lo largo de γ.