Resumen de Inferencia Estadística: Pruebas Z y T

## Introducción La prueba de la media es una herramienta de la estadística inferencial que permite evaluar si la media de una población coincide con un valor hipotético o si dos medias difieren. Se basa en comparar la media muestral con la media poblacional bajo supuestos sobre la desviación estándar y la distribución de la población. > Definición: La prueba de la media es un procedimiento estadístico para decidir si la diferencia entre la media muestral $\bar{x}$ y una media poblacional hipotética $\mu_0$ es lo suficientemente grande como para rechazar la hipótesis nula. ## Conceptos básicos desglosados ### Hipótesis 1. Hipótesis nula: $H_0:\;\mu = \mu_0$ (la media poblacional es igual al valor hipotético). 2. Hipótesis alternativa: puede ser unilateral o bilateral: $H_a:\;\mu \ne \mu_0$, $H_a:\;\mu > \mu_0$, $H_a:\;\mu < \mu_0$. ### Estadísticos de prueba según lo que conocemos Se elige la estadística según si se conoce la desviación estándar poblacional $\sigma$ o no. > Definición: Estadístico de prueba es una cantidad calculada a partir de la muestra que, bajo $H_0$, tiene una distribución conocida que permite obtener un valor p o un área crítica. #### Caso A — Desviación estándar poblacional conocida (uso de la $Z$) - Se usa cuando la desviación estándar poblacional $\sigma$ es conocida. - También es apropiado si la variable es normal y $\sigma$ es conocida, o si la población es normal y $n\ge 30$, o si no se sabe si la población es normal pero $n\ge 30$ (por TCL). Fórmula: $$ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $$ - $\bar{x}$ = media muestral - $\mu_0$ = media poblacional bajo $H_0$ - $\sigma$ = desviación estándar poblacional - $n$ = tamaño de muestra #### Caso B — Desviación estándar poblacional desconocida (uso de la $t$ de Student) - Se usa cuando $\sigma$ no es conocida y se reemplaza por la desviación muestral $s$. - Requiere que la población sea aproximadamente normal si $n$ es pequeño; si $n\ge 30$ suele aplicarse por el TCL. Fórmula: $$ T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} $$ - $s$ = desviación estándar muestral - Grados de libertad: $$ \text{gL} = n - 1 $$ Con el nivel de significancia $\alpha$ y los grados de libertad se busca el valor crítico en la tabla $t$ de Student. ## Comparación rápida | Situación | Estadístico | Supuestos principales | |---|---:|---| | $\sigma$ conocido | $Z$ | Población normal o $n\ge 30$; $\sigma$ conocido | | $\sigma$ desconocido | $T$ | $s$ usado en lugar de $\sigma$; población normal preferible si $n$ pequeño | ## Procedimiento paso a paso 1. Plantear $H_0$ y $H_a$ (unilateral o bilateral). 2. Elegir nivel de significancia $\alpha$. 3. Seleccionar estadístico: $Z$ si $\sigma$ conocido; $T$ si $\sigma$ desconocido. 4. Calcular estadístico con la fórmula correspondiente. 5. Determinar valor crítico o calcular valor p. 6. Tomar decisión: rechazar $H_0$ si el estadístico cae en la región crítica (o si $p < \alpha$). 7. Concluir en contexto y reportar intervalo de confianza si corresponde. ## Ejemplos prácticos ### Ejemplo 1 — $\sigma$ conocido (prueba bilateral) Una fábrica afirma que el peso medio de un producto es $\mu_0 = 100$ g. Se toma una muestra de $n = 40$ productos, se obtiene $\bar{x} = 98.5$ g y se conoce $\sigma = 5$ g. Nivel $\alpha = 0.05$. Cálculo: $$ Z = \frac{98.5 - 100}{\frac{5}{\sqrt{40}}} $$ Se calcula $Z$ y se compara con los valores críticos $\pm z_{0.025}$. Si $|Z| > z_{0.025}$ se rechaza $H_0$. ### Ejemplo 2 — $\sigma$ desconocido (prueba unilateral) Un investigador quiere saber si el tiempo promedio de respuesta es mayor que 30 s. Muestra $n = 16$ tiempos, obtiene $\bar{x} = 33$ s y $s = 6$ s. Nivel $\alpha = 0.01$ y prueba unilateral derecha. Cálculo: $$ T = \frac{33 - 30}{\frac{6}{\sqrt{16}}} $$ Grados de libertad: $\text{gL} = 16 - 1 = 15$. Buscar $t_{0.01,15}$ en la tabla y comparar; si $T > t_{0.01,15}$ se rechaza $H_0$. ## Aplicaciones en el mundo real - Control de calidad industrial: comprobar si