Resumen de Fundamentos de Geometría, Trigonometría y Álgebra

## Introducción La presente guía ofrece una visión clara y práctica de conceptos clave relacionados con la trigonometría y la geometría orientada a problemas espaciales y de magnitudes. Está pensada para que el estudiante de bachillerato desarrolle razonamiento geométrico y habilidades para modelar situaciones reales usando relaciones trigonométricas y propiedades métricas de figuras. > **Definición:** La trigonometría estudia las relaciones entre las longitudes de los lados y las razones trigonométricas en triángulos; la geometría estudia las propiedades y medidas de figuras en el plano y en el espacio. ## Estructura y enfoque Dividimos los contenidos en partes pequeñas y manejables: razones trigonométricas en triángulos rectángulos, relaciones en triángulos generales mediante teoremas métricos, resolución de triángulos usando relaciones seno y coseno, elementos métricos de polígonos y sólidos básicos, y aplicaciones prácticas. ### 1) Razones trigonométricas en triángulos rectángulos - Partes clave: catetos, hipotenusa, ángulos agudos. - Definiciones básicas en triángulo rectángulo con ángulo agudo $ heta$: - $$\sin\theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$$ - $$\cos\theta = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$ - $$\tan\theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$$ > **Definición:** En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas relacionan un ángulo con proporciones entre longitudes de lados. Ejemplo práctico: En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide $10$ y un cateto mide $6$. La otra longitud $b$ se obtiene por el teorema de la hipotenusa en triángulos rectos: $$a = 6$$ $$c = 10$$ $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$ Aplicación: Altura de un edificio medida por sombra y ángulo de elevación: si la sombra mide $20$ m y el ángulo de elevación es $30^{\circ}$, la altura $h$ cumple $$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{20}$$ Como $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ entonces $$h = 20 \cdot \tan 30^{\circ} = 20 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$$ ### 2) Relaciones en triángulos generales - Herramientas: Ley del seno y Ley del coseno para resolver triángulos oblicuángulos. > **Definición:** La Ley del seno relaciona lados y ángulos de un triángulo cualquiera mediante proporciones. - Ley del seno: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ - Ley del coseno (útil para calcular un lado conociendo dos lados y el ángulo entre ellos): $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ Ejemplo: Triángulo con $b=7$, $c=10$ y $A=60^{\circ}$. Calcular $a$: $$a^2 = 7^2 + 10^2 - 2\cdot 7\cdot 10\cos 60^{\circ}$$ Como $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$: $$a^2 = 49 + 100 - 140\cdot \frac{1}{2} = 149 - 70 = 79$$ $$a = \sqrt{79}$$ Aplicación: Determinar distancias inaccesibles midiendo ángulos y un lado conocido. ### 3) Alturas, medianas y bisectrices (elementos métricos) - Altura: segmento perpendicular desde un vértice a la recta que contiene el lado opuesto. - Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. - Bisectriz: recta que divide un ángulo en dos partes iguales. > **Definición:** La altura, mediana y bisectriz son segmentos que relacionan posiciones relativas de vértices y lados en un triángulo y tienen propiedades métricas útiles para construcción y cálculo. Propiedades útiles: - Las tres medianas concurren en el baricentro y lo dividen en razón $2:1$. - La longitud de una mediana $m_a$ puede calcularse con lados $b$, $c$, $a$: $$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$ Ejemplo: Triángulo con $a=8$, $b=6$, $c=7$, calcular $m_a$: $$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^2 + 2\cdot 7^2 - 8^2} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 98 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{106}$$ ### 4) Perímetros, áreas y volúmenes básicos - Figuras planas comunes: triángulo, cuadrado, rectángulo, trapecio, polígono regular. - Sólidos básicos: prisma, cilindro, pirámide, cono, esfera. Tabla comparativa de fórmulas básicas: | Figura/Sólido | Parámetro | Fórm