Resumen de Fundamentos de Arquitectura de Computadoras

## Introducción Los circuitos digitales forman la base de los sistemas electrónicos modernos: implementan funciones lógicas, sumas binarias, y dispositivos de memoria que permiten procesar información en forma discreta. En este material repasaremos funciones booleanas, minimización, diseño de circuitos a partir de tablas de verdad, sumadores y biestables (flip-flops), presentando ejemplos prácticos y aplicaciones reales. > Definición: Una función booleana es una función cuyo dominio y codominio son el conjunto binario $\{0,1\}$ y se expresa mediante operaciones lógicas como AND ($\land$), OR ($\lor$) y NOT ($\lnot$). ## 1. Funciones Booleanas y Tablas de verdad ### 1.1. Tabla de verdad - Una tabla de verdad lista todas las combinaciones posibles de las variables de entrada y la salida correspondiente. - Para $n$ variables hay $2^n$ filas. > Definición: Un minitérmino es una conjunción (producto) de todas las variables, cada una en forma directa o negada, que toma valor 1 para exactamente una fila de la tabla de verdad. ### 1.2. Ejemplo práctico: sistema de alarma Descripción del sistema: tres sensores $S_0$, $S_1$, $S_2$. Cuando al menos dos sensores están en 1 se activa la alarma luminosa AL. Además, si $S_2=1$ se activa la alarma sonora AS. Tabla de verdad (resumen de salidas relevantes): - Entradas: $S_2$, $S_1$, $S_0$ (orden: $S_2S_1S_0$) - Salidas: AL, AS Ejemplo de minitérminos (canónicos) a partir de la tabla: - AL activa cuando hay combinaciones con al menos dos 1: minitérminos $m_3$, $m_5$, $m_6$, $m_7$. - AS activa cuando $S_2=1$: minitérminos $m_4$, $m_5$, $m_6$, $m_7$. Expresiones canónicas (suma de productos): $$\text{AL} = m_3 + m_5 + m_6 + m_7$$ $$\text{AS} = m_4 + m_5 + m_6 + m_7$$ ### 1.3. Simplificación con Álgebra de Boole - Objetivo: reducir número de términos y de puertas. - Técnicas: teoremas de De Morgan, absorción, idempotencia, complementariedad, y factorización. Ejemplo (AS): partir de la condición "AS = 1 si $S_2=1$" conduce directamente a la simplificación $$\text{AS} = S_2$$ porque todos los minitérminos que activan AS comparten $S_2=1$. Para AL ("al menos dos sensores en 1") se puede expresar como suma de productos y luego simplificar. Una forma compacta: $$\text{AL} = S_2S_1 + S_2S_0 + S_1S_0$$ Que es la expresión lógica "al menos dos de las tres entradas son 1". > Definición: Una forma canónica es una expresión donde todos los términos contienen todas las variables; una forma no canónica puede no listar todas las variables en cada término. ## 2. Diseño de circuitos a partir de la función booleana ### 2.1. De la expresión al circuito Pasos: 1. Obtener la tabla de verdad. 2. Escribir la expresión en suma de productos (o producto de sumas). 3. Minimizar la expresión con álgebra booleana o mapas de Karnaugh. 4. Dibujar el circuito con las compuertas básicas (AND, OR, NOT). Ejemplo: circuito para AS - Expresión simplificada: $\text{AS}=S_2$. - Circuito: conectar $S_2$ directamente a la salida AS o, si se requiere, pasar por un buffer. Ejemplo: circuito para AL con la expresión $\text{AL}=S_2S_1 + S_2S_0 + S_1S_0$: - Implementación con puertas: tres puertas AND de dos entradas cuyas salidas alimentan una puerta OR de tres entradas. Tabla comparativa: implementaciones directas vs minimizadas | Aspecto | Implementación canónica | Implementación minimizada | |---|---:|---:| | Número de puertas | más | menos | | Número de entradas en puertas | todas las variables por término | términos con menos variables | | Facilidad de modificación | clara | eficiente | Fun fact: ¿Sabías que las primeras computadoras digitales usaban relés y tubos de vacío para implementar puertas lógicas antes de la invención del transistor? ## 3. Operaciones aritméticas: semisumador y sumador completo ### 3.1. Semisumador (Half Adder) - Función: sumar dos bits $a$ y $b$ sin considerar acarreo previo. - Entradas: $a$, $b$; Salidas: suma $S_0$, acarreo $C_0$. Expresiones: $$S_0 = a \oplus b$$ $$C_0 = a b$$ Impleme