Resumen de Fundamentos de Álgebra y Aplicaciones Económicas
Fundamentos de Álgebra y Aplicaciones Económicas: Guía Completa
Introducción
El álgebra es el lenguaje que usamos para representar cantidades y relaciones mediante símbolos y reglas. En negocios y en la vida diaria, sirve para modelar costos, ingresos, utilidades y tomar decisiones fundamentadas. Este material presenta conceptos fundamentales, operaciones básicas (suma, resta, multiplicación), división sintética y ejemplos aplicados.
Definición: Un término algebraico es una combinación de número, variable y exponente; por ejemplo $3x^2$.
Conceptos básicos
Elementos de un término
- Coeficiente: el número que acompaña a la variable. Ejemplo: en $3x^2$ el coeficiente es $3$.
- Variable: letra que representa una cantidad, por ejemplo $x$.
- Exponente: potencia aplicada a la variable, ejemplo $2$ en $x^2$.
- Constante: número sin variable, por ejemplo $5$.
Definición: Términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal (misma variable y mismo exponente); sólo difieren en su coeficiente.
Tipos de expresiones algebraicas
| Tipo | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Monomio | Un solo término algebraico | $8x$ |
| Binomio | Dos términos sumando o restando | $3x + 7$ |
| Trinomio | Tres términos sumando o restando | $2x^{2} + 3x - 5$ |
| Polinomio | Cuatro o más términos sumando o restando | $4x^{3} + 2x^{2} + 3x - 5$ |
Suma y resta de términos semejantes
- Solo se pueden sumar o restar términos que tengan exactamente la misma variable y el mismo exponente. Por ejemplo: $5x + 3x + 2x = 10x$.
- Ejemplo con dos variables: $2a + 3b - 5a + 6b = -3a + 9b$.
Ejercicios de reducción (resueltos)
- Reducir $a + 2a + 9a$: $$a + 2a + 9a = 12a$$
- Reducir $a^2 + b^2 - 2b^2 - 3a^2 - a^2 + b^2$: agrupar por potencias
$$a^2 - 3a^2 - a^2 + b^2 - 2b^2 + b^2 = -3a^2 + 0b^2 = -3a^2$$
- Reducir $\frac{a}{3} + \frac{a}{2} + \frac{a}{4}$: obtener común denominador $12$:
$$\frac{4a}{12} + \frac{6a}{12} + \frac{3a}{12} = \frac{13a}{12}$$
- Reducir $\frac{1}{6}pt - \frac{2}{5}p - \frac{3}{4}t + \frac{2}{3}pt - \frac{3}{5}p + \frac{7}{4}t + \frac{1}{6}pt$:
Agrupar términos semejantes por $pt$, $p$, $t$:
- Coeficientes de $pt$: $\frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = 1$ entonces $1\cdot pt = pt$.
- Coeficientes de $p$: $-\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = -1$ entonces $-p$.
- Coeficientes de $t$: $-\frac{3}{4} + \frac{7}{4} = \frac{4}{4} = 1$ entonces $+t$.
Resultado: $$pt - p + t$$
Eliminación de paréntesis y reducción (ejemplos)
- $(a + b) - (a - b)$
Expandir y reducir:
$$(a + b) - a + b = 2b$$
- $3x + 2y - [x - (x - y)]$:
Primero el interior: $x - (x - y) = x - x + y = y$; luego
$$3x + 2y - y = 3x + y$$
- $[- (x^{2} - y^{2}) + 2x^{2} - 3y^{2} - (x^{2} - 2x^{2} - 3y^{2})]$:
Paso a paso:
$- (x^{2} - y^{2}) = -x^{2} + y^{2}$
$- (x^{2} - 2x^{2} - 3y^{2}) = -x^{2} + 2x^{2} + 3y^{2} = x^{2} + 3y^{2}$
Sumando todo:
$$(-x^{2} + y^{2}) + 2x^{2} - 3y^{2} + (x^{2} + 3y^{2}) = ( -x^{2} + 2x^{2} + x^{2} ) + ( y^{2} - 3y^{2} + 3y^{2} ) = 2x^{2} + y^{2}$$
- $-(a + b - c) - (-a - b + c) + (a - b + c)$:
Expandir: $-a - b + c + a + b - c + a - b + c = a - b + c$ (al simplificar quedan los términos indicados)
Aplicaciones en negocios (modelos simples)
Ejemplo: Costo total de una empresa con costo variable unitario $10$ y costo fijo $500$: $$C(x) = 10x + 500$$ donde $x$ es cantidad de unidades.
Ejemplo: Demanda $D(x) = x + 5$ y precio $P(x) = x + 2$, entonces el ingreso:
$$I(x) = D(x)\cdot P(x) = (x + 5)(x + 2)$$
Ejercicio aplicado resuelto:
- Una tienda gana $100$ por cada artículo vendido y recibe un bono fijo de $50$ por día. Ingreso diario:
$$I(x) = 100x + 50$$
- Empresa que vende $x$ unidades a $1500$ cada una y costo $C(x)=5x+300$:
a) Ingreso: $$I(x)=1500x$$
b) Ganancia: $$G(x)=I(x)-C(x)=150
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Álgebra Básica
Klíčová slova: Álgebra, Modelos económicos, Comunicación institucional
Klíčové pojmy: Término: combina coeficiente, variable y exponente, Términos semejantes tienen misma variable y exponente, Monomio, binomio, trinomio, polinomio según número de términos, Sumar/restar: combinar sólo términos semejantes, Multiplicación: usar distributiva y reglas de potencias, Productos notables: cuadrados y diferencia de cuadrados, División sintética divide entre $x-a$ y último valor es residuo, Residuo de la división por $x-a$ equivale a $P(a)$, Modelar ingresos y costos con funciones lineales y polinomios, Al duplicar variable, sustituir $x$ por $2x$ en la función