# Vectores en el plano y en $\mathbb{R}^2$ ## Introducción Los vectores son objetos matemáticos que describen magnitud y dirección en el plano. Se usan para representar desplazamientos, fuerzas, velocidades y muchos otros conceptos en física e ingeniería. En este material veremos definiciones, representaciones, operaciones básicas y aplicaciones prácticas adaptadas para estudiantes que estudian de forma autónoma. > **Definición:** Un vector en el plano es un par ordenado de números reales $\left(a,b\right)$ que representa un segmento orientado con dirección y magnitud. ## 1. Representación de vectores ### 1.1 Formas de representar un vector - Forma algebraica: $\vec{v} = (a,b)$ - Forma con base: $\vec{v} = a\,\mathbf{i} + b\,\mathbf{j}$, donde $\mathbf{i} = (1,0)$ y $\mathbf{j} = (0,1)$ - Representación geométrica: segmento orientado en el plano desde un punto inicial a un punto terminal. > **Definición:** Los vectores $\mathbf{i}$ y $\mathbf{j}$ se llaman vectores unitarios fundamentales o base canónica en $\mathbb{R}^2$. ### 1.2 Vectores equivalentes - Dos segmentos orientados son equivalentes si tienen la misma dirección, sentido y longitud. - Un vector se identifica con la clase de todos sus segmentos orientados equivalentes. ## 2. Magnitud (longitud) de un vector > **Definición:** La magnitud de $\vec{v} = (a,b)$ es $|\vec{v}| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$. Ejemplo: $$\vec{v} = (4,-3)$$ $$|\vec{v}| = \sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} = \sqrt{16+9} = 5$$ ## 3. Dirección de un vector La dirección de $\vec{v} = (a,b)$ se da por el ángulo $\theta$ que forma con el eje positivo $x$ (ángulo estándar, medido antihorario desde $0$ hasta $2\pi$). - Se cumple $\tan\theta = \frac{b}{a}$. - Es necesario determinar el cuadrante para obtener el ángulo estándar. Procedimiento práctico: 1. Calcular $\alpha = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ (la función arctan devuelve un ángulo principal entre $-\tfrac{\pi}{2}$ y $\tfrac{\pi}{2}$). 2. Ajustar según el cuadrante: - Si $a>0$ y $b\ge 0$ (I): $\theta = \alpha$. - Si $a<0$ (II o III): $\theta = \alpha + \pi$. - Si $a>0$ y $b<0$ (IV): $\theta = \alpha + 2\pi$ si se desea $\theta\in[0,2\pi)$; también puede usarse $\theta = \alpha$ y tomarlo negativo según convenga. - Si $a=0$ y $b>0$: $\theta = \tfrac{\pi}{2}$; si $a=0$ y $b<0$: $\theta = \tfrac{3\pi}{2}$. Ejemplos: $$W = (-2,2)$$ Calcular $\alpha = \arctan\left(\frac{2}{-2}\right) = \arctan(-1) = -\tfrac{\pi}{4}$. Ajuste por cuadrante II: $$\theta = -\tfrac{\pi}{4} + \pi = \tfrac{3\pi}{4} = 135^{\circ}.$$ $$V = (1,-1)$$ $$\alpha = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\tfrac{\pi}{4}$$ Cuadrante IV y ángulo estándar en $[0,2\pi)$: $$\theta = -\tfrac{\pi}{4} + 2\pi = \tfrac{7\pi}{4} = 315^{\circ}.$$ Did you know que el ángulo estándar siempre se mide en sentido antihorario desde el eje positivo $x$ y se expresa habitualmente en radianes entre $0$ y $2\pi$? ## 4. Operaciones básicas (componentes) > **Nota:** No entraremos en teoría extensa de operaciones y propiedades más avanzadas que se tratan en otros módulos; aquí mostramos las fórmulas elementales necesarias para trabajar en el plano. ### 4.1 Suma y resta - Suma: si $\vec{u}=(u_{1},u_{2})$ y $\vec{v}=(v_{1},v_{2})$ entonces $$\vec{u}+\vec{v} = (u_{1}+v_{1},\;u_{2}+v_{2})$$ - Resta: $$\vec{u}-\vec{v} = (u_{1}-v_{1},\;u_{2}-v_{2})$$ Ejemplo: $$\vec{u}=(-2,5),\;\vec{v}=(3,-1)$$ $$\vec{u}+\vec{v} = (1,4)$$ $$\vec{u}-\vec{v} = (-5,6)$$ ### 4.2 Multiplicación por un escalar - Si $k\in\mathbb{R}$ y $\vec{u}=(u_{1},u_{2})$ entonces $$k\cdot\vec{u} = (k\,u_{1},\;k\,u_{2})$$ Ejemplo: $\vec{u}=(3,-2)$ y $k=2$: $$2\cdot\vec{u} = (6,-4)$$ ## 5. Producto escalar (producto punto) > **Definición:** Para $\vec{u}=(u_{1},u_{2})$ y $\vec{v}=(v_{1},v_{2})$, $$\vec{u}\cdot\vec{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2}.$$ Propiedades rápidas: - Conmutativo: $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$. - Distributivo respecto de la suma. - Relacionado con magnitudes y coseno: $$\cos\varphi = \frac{\vec