Test sobre Funciones Potencia: Definición y Análisis

Pregunta 1: La función $g(t) = 3(t - 1)^8 + 1$ es un ejemplo de una función potencia.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Los materiales de estudio presentan $g(t) = 3(t - 1)^8 + 1$ como uno de los ejemplos de funciones potencia, especificando que puede escribirse en la forma $f(x) = a(x - h)^n + k$.

Pregunta 2: Según la definición general de función potencia presentada en los materiales de estudio, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es CORRECTA?

A. La expresión general de la función potencia es f(x) = a^x, donde la variable es el exponente.

B. En la función potencia f(x) = ax^n, el coeficiente 'a' puede ser cualquier número real, incluyendo cero.

C. El exponente 'n' en la función potencia f(x) = ax^n debe ser un número entero distinto de cero.

D. El dominio de la función potencia está siempre restringido a los números reales positivos.

Explicación: La función potencia está definida por la expresión general f(x) = ax^n, con a ∈ ℝ - {0} y n ∈ ℤ - {0}. Esto significa que el coeficiente 'a' debe ser un número real distinto de cero, y el exponente 'n' debe ser un número entero distinto de cero. La opción 0 describe una función exponencial. La opción 1 es incorrecta porque 'a' no puede ser cero. La opción 3 es incorrecta porque el material establece que el dominio de la función potencia está en los números reales, no solo los positivos.

Pregunta 3: En el contexto de funciones definidas como $f(x) = mx^n$ donde $m$ es un número real distinto de cero y $n$ es un número entero positivo ($0 < n \leq 3$), es verdad que, si para $n = 1$ la función se denota por $g$, para $n = 2$ por $h$ y para $n = 3$ por $t$, entonces hay al menos un punto donde se intersectan las gráficas de $g, h$ y $t$.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El Ejercicio 5 establece en la opción D) que 'Si para $n = 1$ se tiene que $f$ se denota por $g$, para $n = 2$ se tiene que $f$ se denota por $h$ y para $n = 3$ se tiene que $f$ se denota por $t$, entonces hay al menos un punto donde se intersectan las gráficas de $g, h$ y $t$.'. Esta afirmación se presenta como verdadera en el contexto del ejercicio.

Pregunta 4: Las gráficas de las funciones $f(x) = ax^{2}$, $g(x) = ax^{3}$ y $h(x) = ax^{4}$ (con $a > 0$) se intersectan en solo un valor de $x$.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Para encontrar los valores de $x$ donde $f(x) = g(x) = h(x)$, se igualan las funciones: $ax^2 = ax^3 = ax^4$.Primero, $ax^2 = ax^3$. Dado que $a > 0$, podemos dividir por $a$: $x^2 = x^3$, lo que implica $x^3 - x^2 = 0$, o $x^2(x - 1) = 0$. Las soluciones para esta ecuación son $x = 0$ y $x = 1$.Luego, verificamos si estos valores satisfacen $ax^3 = ax^4$.Dividiendo por $a$ (ya que $a > 0$): $x^3 = x^4$. Para $x = 0$, $0^3 = 0^4$, lo cual es $0 = 0$ (verdadero). Para $x = 1$, $1^3 = 1^4$, lo cual es $1 = 1$ (verdadero).Por lo tanto, las tres gráficas se intersectan en dos valores de $x$: $x=0$ y $x=1$. La afirmación de que se intersectan en solo un valor de $x$ es falsa.

Pregunta 5: Sean las funciones $f(x) = ax^{2}$, $g(x) = ax^{3}$ y $h(x) = ax^{4}$, con $a > 0$, todas con dominio el conjunto de los números reales. ¿Cuáles son los valores específicos de $x$ para los cuales $f(x) = g(x) = h(x)$?

A. Solo $x = 0$

B. Solo $x = 1$

C. Solo $x = 0$ y $x = 1$

D. Solo $x = -1$ y $x = 0$

Explicación: Para encontrar los valores de $x$ donde las tres funciones se intersecan, debemos igualar las expresiones: $ax^{2} = ax^{3} = ax^{4}$.Primero, igualamos $ax^{2} = ax^{3}$.Dado que $a > 0$, podemos dividir por $a$: $x^{2} = x^{3}$.Reordenando, tenemos $x^{3} - x^{2} = 0$, lo que simplifica a $x^{2}(x - 1) = 0$.Esto nos da dos posibles soluciones para $x$: $x = 0$ o $x = 1$.Luego, verificamos si estos valores satisfacen la igualdad con $h(x) = ax^{4}$.Si $x = 0$: $f(0) = a(0)^{2} = 0$, $g(0) = a(0)^{3} = 0$, $h(0) = a(0)^{4} = 0$. Todas son iguales a $0$.Si $x = 1$: $f(1) = a(1)^{2} = a$, $g(1) = a(1)^{3} = a$, $h(1) = a(1)^{4} = a$. Todas son iguales a $a$.Ambos valores, $x=0$ y $x=1$, satisfacen la condición $f(x) = g(x) = h(x)$.Por lo tanto, hay dos valores de $x$ para los cuales las tres funciones son iguales.