Resumen de Funciones Potencia: Definición y Análisis

## Introducción Las funciones y sus transformaciones son herramientas clave para interpretar y manipular gráficos. Entender cómo desplazar, escalar o reflejar una función te permite dibujar rápidamente su gráfica a partir de una conocida y resolver problemas de modelamiento. > Definición: Una transformación de una función modifica su gráfica mediante traslaciones (desplazamientos), estiramientos/compresiones o reflexiones sin cambiar necesariamente su dominio. ## Conceptos básicos ### Tipos de transformaciones - Traslaciones horizontales y verticales. - Escalas verticales y horizontales (estiramiento y compresión). - Reflexiones respecto a los ejes. > Definición: Una traslación horizontal por $h$ unidades transforma $f(x)$ en $f(x-h)$; una traslación vertical por $k$ unidades transforma $f(x)$ en $f(x)+k$. ### Interpretación de expresiones comunes - $f(x-h)$ corresponde a trasladar la gráfica de $f$ $h$ unidades a la derecha si $h>0$ y a la izquierda si $h<0$. - $f(x)+k$ corresponde a trasladar la gráfica de $f$ $k$ unidades hacia arriba si $k>0$ y hacia abajo si $k<0$. - $af(x)$ con $a>1$ estira verticalmente; con $0<a<1$ comprime verticalmente; con $a<0$ además refleja respecto al eje $x$. ## Ejemplos y aplicaciones prácticas ### Ejemplo 1: Igualdad de potencias con factor común Considera $f(x)=ax^{2}$, $g(x)=ax^{3}$, $h(x)=ax^{4}$ con $a>0$ y dominio $\\mathbb{R}$. ¿Para cuántos valores de $x$ se cumple $f(x)=g(x)=h(x)$? Analicemos la igualdad simultánea $ax^{2}=ax^{3}=ax^{4}$. Como $a>0$, podemos dividir entre $a$ y obtener: $$x^{2}=x^{3}=x^{4}$$ De $x^{2}=x^{3}$ se deduce $x^{2}(1-x)=0$ por lo que $x=0$ o $x=1$. Verifiquemos ambos en $x^{3}=x^{4}$: si $x=0$ entonces $0=0$; si $x=1$ entonces $1=1$. Por lo tanto hay exactamente dos valores de $x$ que cumplen la igualdad simultánea: $x=0$ y $x=1$. Aplicación: reconocer soluciones comunes al comparar polinomios con factor común permite simplificar sistemas de igualdades en problemas de física o economía donde aparece un factor multiplicativo. ### Ejemplo 2: Traslaciones entre funciones cúbicas Sea $f(x)=3x^{5}y$ (observe que la expresión dada mezcla variables; si la intención es una función de $x$ tipo potencia, tome $f(x)=3x^{5}$) y $g(x)=3(x+4)^{5}+2$. Para obtener $g$ a partir de $f$: - Reescribimos $f$ como $3x^{5}$. Entonces $3(x+4)^{5}$ corresponde a reemplazar $x$ por $x+4$, lo que es una traslación horizontal de 4 unidades a la izquierda (porque $x$ se reemplaza por $x+4$). - Luego sumar $+2$ corresponde a una traslación vertical 2 unidades hacia arriba. Por lo tanto la transformación es: trasladar 4 unidades a la izquierda y luego 2 unidades hacia arriba. ### Ejemplo 3: Identificar traslaciones en una cúbica desplazada Sea $f(x)=(x-5)^{3}+3$. ¿Con cuál función dada se obtiene la gráfica de $f$ mediante traslaciones? Analizamos opciones: - $g(x)=x^{3}+3$: para pasar de $x^{3}+3$ a $(x-5)^{3}+3$ hay que desplazar 5 unidades a la derecha (reemplazo $x$ por $x-5$). Esto es equivalente a trasladar la gráfica de $g$ 5 unidades a la derecha, no a la izquierda. - $h(x)=(x-2)^{3}+3$: pasar de $(x-2)^{3}+3$ a $(x-5)^{3}+3$ requiere desplazar 3 unidades a la derecha (porque $-2$ a $-5$), no a la izquierda. - $m(x)=x^{3}$: para obtener $(x-5)^{3}+3$ desde $x^{3}$ hay que mover 5 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba. - $k(x)=(x-5)^{3}-1$: para llegar a $(x-5)^{3}+3$ hay que mover 4 unidades hacia arriba. - $n(x)=x^{3}-5$: para llegar a $(x-5)^{3}+3$ no hay una sola traslación que lo haga directamente porque $x^{3}-5$ tiene desplazamiento vertical y la otra requiere desplazamiento horizontal y vertical. La opción correcta es: trasladar la gráfica de $m(x)=x^{3}$ cinco unidades horizontalmente hacia la derecha y tres unidades verticalmente hacia arriba. ### Ejemplo 4: Funciones monomiales y puntos de intersección Sea $f(x)=mx^{n}$ con $m\neq 0$ y $n$ entero positivo, $0<n\leq 3$. Consideremos las funciones para $n=1,2,3$ con el mismo coeficiente $m$: $g(x)=mx