Resumen de Funciones, Límites y Derivadas
Funciones, Límites y Derivadas: Guía Completa para Estudiantes
Introducción
La geometría analítica y las funciones son herramientas centrales en Ciencia de Datos y en muchas áreas de la ingeniería y las ciencias. Esta guía reúne conceptos esenciales sobre funciones numéricas, dominio e imagen, funciones a trozos, y nociones básicas de rectas y distancia en el plano cartesiano, con ejemplos prácticos y ejercicios que pueden verificarse con software como GeoGebra.
Definición: Una función es una regla que asigna a cada valor $x$ de un conjunto llamado dominio exactamente un valor $y$; escribimos $y=f(x)$.
1. Funciones a trozos
Concepto
Una función a trozos está definida por expresiones distintas según subintervalos del dominio. Es importante verificar valores en los puntos de cambio.
Definición: Una función a trozos es una función definida por diferentes fórmulas en diferentes subconjuntos del dominio.
Ejemplo práctico: Graficar en GeoGebra la función ingresando el comando: $$\text{If}[x<-4,;\tfrac{1}{2}x+1,;\text{If}[x<-2,;-1,;\text{If}[x<1,;-x-2,;-3]]]$$
- a) Para determinar $f(-4)$ mirar la regla aplicada en $x=-4$. Si la condición es estricta $x<-4$, entonces $x=-4$ no pertenece a ese trozo; revisar las demás condiciones.
- b) Determinar $f(1)$ y $f(-2)$ aplicando la misma idea: identificar la condición que incluye el punto.
Ejemplo resuelto (esquema)
- Evaluar cada condición en $x=-4$, $x=-2$, $x=1$.
- Si ninguna condición incluye el punto, la función no está definida ahí.
2. Funciones lineales y con dominio restringido
Líneas y trazado
- La función lineal general es $f(x)=ax+b$. Para graficarla solo se necesitan dos puntos.
- Ejemplos: $f(x)=5x+1$ y $g(x)=x-1$, con restricción $x\geq \tfrac{2}{3}$.
Definición: Una función lineal tiene la forma $f(x)=ax+b$ donde $a$ es la pendiente y $b$ la ordenada al origen.
Tabla comparativa: pendiente, traslación y dominio
| Función | Pendiente $a$ | Traslación vertical | Dominio típico |
|---|---|---|---|
| $f(x)=5x+1$ | 5 | +1 | $(-\infty,\infty)$ |
| $g(x)=x-1$, $x\geq \tfrac{2}{3}$ | 1 | -1 | $[\tfrac{2}{3},\infty)$ |
Ejemplo práctico: graficar y escribir dominio e imagen.
3. Determinar dominios (ejemplos del curso)
Para cada función se debe excluir valores que hagan indefinida la expresión: raíces pares con radicando negativo y denominadores cero.
Definición: El dominio de $f$ es el conjunto de $x$ para los cuales $f(x)$ está definida.
Problemas típicos a resolver:
- $f(x)=\sqrt{2x-1}$
- Condición: $2x-1\geq 0$.
- Dominio: $\left[\tfrac{1}{2},\infty\right)$.
- $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$
- Denominador: $x^2+x=x(x+1)\neq 0$.
- Dominio: $(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,\infty)$.
- $g(x)=\dfrac{x^2+1}{x^3+1}$
- Denominador: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$. Solo $x=-1$ anula el denominador realmente.
- Dominio: $(-\infty,-1)\cup(-1,\infty)$.
- $h(x)=\sqrt[3]{x^2-2}$
- Radical de índice impar: definido para todo $x$.
- Dominio: $(-\infty,\infty)$.
- $i(x)=\dfrac{3+\tfrac{1}{x}}{x+1}$
- Requiere $x\neq 0$ y $x\neq -1$.
- Dominio: $(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,\infty)$.
- $j(x)=\sqrt{4-3x}$
- $4-3x\geq 0$ implica $x\leq \tfrac{4}{3}$.
- Dominio: $(-\infty,\tfrac{4}{3}]$.
- $k(x)=\dfrac{1}{x+\sqrt{4-3x}}$
- Requiere $4-3x\geq 0$ y $x+\sqrt{4-3x}\neq 0$.
- Resolver sistema: $x\leq \tfrac{4}{3}$ y $x\neq -\sqrt{4-3x}$; analizar soluciones numéricas.
- $l(x)=\dfrac{3x^2+x}{x^2-4+3x}$
- Denominador: $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$? Verificar factorization correcta: $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$ da $x^2+3x-4$ sí.
- Excluir raíces del denominador: $x=-4$, $x=1$.
- Dominio: $(-\infty,-4)\cup(-4,1)\cup(1,\infty)$.
4. ¿Una ec
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Funciones y Geometría
Klíčové pojmy: Una función asigna a cada $x$ un único $y$, Determinar dominio: evitar denominadores cero y radicandos negativos, Función a trozos: verificar valores en puntos de cambio, Prueba de la recta vertical determina si una curva es función, Recta: pendiente $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ y ecuación punto-pendiente, Rectas paralelas comparten pendiente; perpendiculares tienen pendiente negativa recíproca, Distancia entre puntos: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$, Transformaciones de funciones: traslación, dilatación y reflexión, Para raíces impares el dominio es todo $\mathbb{R}$, Verificar gráficas con GeoGebra y usar deslizadores para parámetros, Circunferencia $x^2+y^2=9$ no define $y$ como función globalmente, Al graficar a trozos, mostrar puntos aislados si existen