Resumen de Funciones Cuadráticas y sus Aplicaciones
Funciones Cuadráticas y sus Aplicaciones: Guía Completa
Introducción
Las funciones cuadráticas son polinomios de segundo grado de la forma $$f(x)=ax^{2}+bx+c$$ con $a\neq 0$. Aparecen en física (movimiento con aceleración constante), economía (beneficios, ingresos) y geometría (áreas). En este material estudiaremos cómo analizarlas, representarlas y resolver problemas prácticos.
Definición: Una función cuadrática es cualquier función de la forma $$f(x)=ax^{2}+bx+c\quad\text{con }a\neq 0.$$ Su gráfica es una parábola.
Componentes clave de una función cuadrática
- Coeficiente principal $a$: determina la concavidad. Si $a>0$ la parábola abre hacia arriba; si $a<0$ abre hacia abajo.
- Vértice: punto más bajo o más alto de la parábola, según la concavidad. Para $$f(x)=ax^{2}+bx+c$$ el vértice tiene abscisa $$x_{v}=-\frac{b}{2a}$$ y ordenada $$y_{v}=f\left(-\frac{b}{2a}\right).$$
- Ejes y simetría: la parábola es simétrica respecto a la recta vertical $x=x_{v}$.
- Ceros o raíces: soluciones de $$ax^{2}+bx+c=0$$ dadas por la fórmula cuadrática: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$
- Ordenada al origen: valor $$f(0)=c$$.
Tabla comparativa: elementos y su interpretación
| Elemento | Notación | Interpetación |
|---|---|---|
| Coeficiente cuadrático | $a$ | Concavidad y apertura |
| Coeficiente lineal | $b$ | Desplaza la simetría de la parábola |
| Término independiente | $c$ | Ordenada al origen $f(0)$ |
| Vértice | $(x_{v},y_{v})$ | Máximo o mínimo de la función |
| Discriminante | $\Delta=b^{2}-4ac$ | Determina número de ceros: \Delta>0\Rightarrow 2 ceros, \Delta=0\Rightarrow 1 cero, \Delta<0\Rightarrow 0 ceros |
Cómo analizar una función cuadrática (pasos)
- Identificar $a$, $b$, $c$.
- Determinar concavidad por el signo de $a$.
- Calcular vértice: $$x_{v}=-\frac{b}{2a},\quad y_{v}=f\left(x_{v}\right).$$
- Calcular discriminante $$\Delta=b^{2}-4ac$$ y hallar ceros con la fórmula cuadrática si es necesario.
- Evaluar ordenada al origen $f(0)=c$.
- Dibujar la parábola usando vértice, ceros y ordenada al origen.
Definición: Discriminante $$\Delta=b^{2}-4ac$$ indica la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática.
Ejemplos prácticos y resolución paso a paso
Ejemplo A: Movimiento vertical (problema 1 dado)
Se lanza un objeto desde una torre de 75 m con altura en metros en función del tiempo en segundos: $$f(x)=-5x^{2}+10x+75$$
- Identificamos $a=-5$, $b=10$, $c=75$. Como $a<0$, la parábola abre hacia abajo y hay un máximo.
- Vértice: $$x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2(-5)}=1$$ Ordenada: $$y_{v}=f(1)=-5(1)^{2}+10(1)+75=80$$ Resultado: la altura máxima es $80$ metros y se alcanza en $x=1$ segundo.
- Tiempo de caída: hallar cuando $f(x)=0$ (cae al suelo): $$-5x^{2}+10x+75=0$$ Dividimos entre $-5$ para simplificar: $$x^{2}-2x-15=0$$ Aplicamos la fórmula: $$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4(1)(-15)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+60}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$ Soluciones: $x=-3$, $x=5$. Descartamos $x=-3$ porque el tiempo debe ser $x\ge 0$. Por tanto la caída al suelo ocurre en $x=5$ segundos.
- Gráfica: parábola con vértice $(1,80)$ que corta al eje $x$ en $5$ y ordenada al origen $f(0)=75$. (Dibujar eje tiempo horizontal y altura vertical, marcar puntos importantes).
Ejemplo B: Ingresos y gastos (problema 2 dado)
Dadas las funciones en miles de euros para $0\le t\le 18$: $$I(t)=-2t^{2}+51t\qquad G(t)=t^{2}-3t+96$$ (a) Valores de $t$ donde ingresos = gastos: resolver $I(t)=G(t)$: $$-2t^{2}+51t=t^{2}-3t+96$$ Pasamos todo a un lado: $$-3t^{2}+54t-96=0$$ Dividir entre $-3$: $$t^{2}-18t+32=0$$ Aplicamos la fórmula: $$t=\frac{18\pm\sqrt{(-18)^{2}-4(1)(32)}}{2}=\frac{18\pm\sqrt{324-128}}{2}=\frac{18\pm\sqrt{196}}{2}=\frac{18\pm 14}{2}$$ Soluciones: $t=16$, $t=2$. Por tanto los ingresos coincidieron con los
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Funciones cuadráticas
Klíčové pojmy: Función general: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ con $a\neq 0$, Vértice en $x_{v}=-\frac{b}{2a}$ y $y_{v}=f(x_{v})$, Discriminante $\Delta=b^{2}-4ac$ determina número de raíces, Si $a>0$ parábola abre hacia arriba; si $a<0$ abre hacia abajo, Ordenada al origen $f(0)=c$, Raíces por fórmula $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$, Forma vértice $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ facilita construir funciones, Para máximos/mínimos usar vértice (aplicable a ingresos/beneficios), Si $\Delta<0$ no hay ceros reales pero la gráfica existe, Convertir expresiones y simplificar antes de analizar