Resumen de Fracciones y Números Racionales Fundamentales

## Introducción Las fracciones y los números racionales nos permiten describir partes de un todo y comparar cantidades que resultan de dividir. Aprender estos conceptos facilita resolver situaciones cotidianas como compartir alimentos, medir materiales y trabajar con porcentajes. ### ¿Por qué es importante? - Permiten representar cantidades no enteras de forma exacta. - Son la base para operaciones con decimales y porcentajes. - Aparecen en recetas, construcción, finanzas y ciencia. > **Definición (intuitiva):** Una fracción representa una parte de un todo obtenida al dividir ese todo en partes iguales. ## 1. Partes de una fracción ### 1.1 Componentes - **Numerador:** el número de partes que tomamos. - **Denominador:** el número total de partes iguales en que se divide el todo. Ejemplo: en la fracción $\frac{2}{5}$, $2$ es el numerador y $5$ es el denominador. > **Definición:** Dada una fracción $\frac{p}{q}$, $p$ se llama numerador y $q$ denominador con $q \neq 0$. ### 1.2 Interpretación práctica - Si cortas una pizza en $5$ partes iguales, cada porción es $\frac{1}{5}$ de la pizza. - Si la divides en $10$ partes y tomas $2$, has tomado $\frac{2}{10}$ de la pizza. Fun fact: Las fracciones equivalentes como $\frac{1}{5}$ y $\frac{2}{10}$ representan exactamente la misma porción del todo. ## 2. Fracciones equivalentes ### 2.1 Idea clave Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad aunque sus numeradores y denominadores sean distintos. ### 2.2 Criterio algebraico > **Definición:** Dados los enteros $p,q,r,s$ con $q \neq 0$ y $s \neq 0$, la fracción $\frac{p}{q}$ es equivalente a $\frac{r}{s}$ si y sólo si $$p \cdot s = r \cdot q$$ Ejemplo práctico: - Comparamos $\frac{1}{5}$ y $\frac{2}{10}$. $$1 \cdot 10 = 10$$ $$2 \cdot 5 = 10$$ Como ambos productos son iguales, las fracciones son equivalentes. ### 2.3 Cómo generar fracciones equivalentes - Multiplica numerador y denominador por el mismo entero distinto de cero: $\frac{p}{q} = \frac{p\cdot k}{q\cdot k}$. - Divide numerador y denominador por su máximo común divisor para simplificar: si $\gcd(p,q)=d$, entonces $\frac{p}{q}=\frac{p/d}{q/d}$. ## 3. Definición de número racional > **Definición formal:** Dados $p,q \in \mathbf{Z}$ con $q \neq 0$, llamamos número racional a la fracción $\frac{p}{q}$ con la convención de que dos fracciones equivalentes representan el mismo número racional. - Los números racionales se denotan por $\mathbb{Q}$. - Incluyen los enteros (por ejemplo, $3 = \frac{3}{1}$) y las fracciones propias e impropias. ## 4. Tipos de fracciones y ejemplos | Tipo | Forma | Ejemplo | Interpretación | |------|------:|--------|----------------| | Propia | $\frac{p}{q}$ con $|p|<|q|$ | $\frac{3}{4}$ | Menos de un todo | | Impropia | $\frac{p}{q}$ con $|p|\ge |q|$ | $\frac{7}{4}$ | Mayor o igual a un todo | | Mixta | combinación de entero y fracción | $1\,\frac{3}{4}$ | Otra forma de escribir $\frac{7}{4}$ | ## 5. Operaciones básicas (concepto y uso rápido) - Suma y resta: convierta fracciones a denominador común antes de operar. - Multiplicación: multiplique numeradores y denominadores: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$. - División: multiplique por la inversa: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$, con $c\neq 0$. Ejemplo de multiplicación: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ tras simplificar. ## 6. Aplicaciones reales - Cocina: ajustar recetas con fracciones de ingredientes. - Construcción: medir y cortar materiales en fracciones de unidad. - Finanzas: dividir ganancias, fracciones de acciones. ¿Sabías que las fracciones fueron usadas desde la antigüedad por egipcios y babilonios para registrar medidas y comercio? Las diferentes culturas desarrollaron notaciones distintas para fracciones. ## 7. Ejemplos resueltos paso a paso 1. Comparar: $\frac{3}{8}$ y $\frac{6}{16}$. $$3\cdot 16 = 48$$ $$6\cdot 8 = 48$$ Son equivalentes. 2. Simplificar: $\frac{18}{24}$. MCD de