Resumen de Estado de Tensión Bidimensional
Estado de Tensión Bidimensional: Análisis Completo para Estudiantes
Introducción
La resistencia de materiales estudia cómo responden los cuerpos sometidos a fuerzas y cómo se relacionan esfuerzos, deformaciones y energía interna. En este material nos centraremos en conceptos relacionados con las líneas isostáticas, las trayectorias de las tensiones principales en un estado tridimensional, el círculo de Mohr como herramienta para visualizar estados planos dentro de un estado espacial y en la deformación volumétrica y el trabajo interno específico de deformación. Se explican nociones clave, ejemplos prácticos y aplicaciones reales, evitando el tratamiento elemental de álgebra y la exposición general sobre tensiones que se cubre en otros módulos.
1. Direcciones principales en un estado tridimensional
¿Qué son las direcciones principales?
Las direcciones principales son tres direcciones ortogonales en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzo tridimensional donde las componentes tangenciales que actuarían sobre los planos normales a esas direcciones son nulas.
- En cada punto existe un triplete de direcciones ortogonales llamadas direcciones principales.
- En los planos normales a esas direcciones las componentes tangenciales se anulan.
- Las normales a esos planos presentan únicamente componentes normales (no tangenciales).
Orden y significado de las tensiones principales
- Denotaremos las tensiones normales en esas direcciones como $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ con el orden usual: $\sigma_1$ es la máxima en valor (mayor efecto de tracción), $\sigma_3$ es la mínima (mayor compresión) y $\sigma_2$ es intermedia.
- La mayor tensión tangencial local ocurre en planos que bisecan los planos de $\sigma_1$ y $\sigma_3$, es decir a $45^{\circ}$ entre ambas direcciones principales.
2. Relación entre estado bidimensional y tridimensional
Estado plano como caso particular
- Al estudiar un plano se consideran únicamente los planos normales paralelos al eje que queda fuera del dibujo (por ejemplo, paralelos a $z$). Sin embargo, en el espacio hay infinitos planos oblicuos que modifican la respuesta local.
- Una de las tensiones principales del estado tridimensional es la componente sobre el eje fuera del plano bidimensional, por ejemplo $\sigma_z$.
En el caso plano, llamaremos $\sigma_1^{D}$ y $\sigma_2^{D}$ a las tensiones principales que aparecen al considerar únicamente el plano 2D; estas pueden corresponder a tracción o compresión dependiendo del estado real 3D.
Círculo de Mohr ampliado (visión espacial)
- En 2D se representa el estado por una circunferencia de Mohr. Al incorporar la tercera tensión principal aparecen otras circunferencias que representan combinaciones con $\sigma_z$, y los valores máximos de corte locales pueden aumentar.
- El valor máximo de esfuerzo cortante en el entorno tridimensional puede superponerse por estar en planos oblicuos; dicho máximo ocurre en un plano a $45^{\circ}$ entre la mayor y la menor tensión principal correspondiente.
Tabla comparativa: estado 2D vs estado 3D
| Característica | Estado 2D | Estado 3D |
|---|---|---|
| Tensiones principales consideradas | $\sigma_1^{D}$, $\sigma_2^{D}$ | $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ |
| Planos posibles | Planos perpendiculares al eje fuera del dibujo | Infinitos planos, incluidos oblicuos |
| Máximo esfuerzo cortante | Dado por circunferencia de Mohr 2D | Puede ser mayor; aparece en planos oblicuos |
3. Casos típicos al comparar $\sigma_1^{D}$ y $\sigma_2^{D}$
- Primer caso: $\sigma_1^{D}$ y $\sigma_2^{D}$ ambas de tracción.
- Segundo caso: $\sigma_1^{D}$ de tracción y $\sigma_2^{D}$ de
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Isostáticas y Deformación Volumétrica
Klíčová slova: Tensiones, Resistencia de materiales, Álgebra elemental
Klíčové pojmy: Direcciones principales: tres direcciones ortogonales sin componentes tangenciales, Orden de tensiones principales: $\sigma_1$ máximo, $\sigma_2$ intermedio, $\sigma_3$ mínimo, Máximo esfuerzo cortante local aparece en planos a $45^{\circ}$ entre $\sigma_1$ y $\sigma_3$, Estado 2D es caso particular del 3D; incluir $\sigma_z$ puede cambiar máximos de corte, Deformación volumétrica para pequeñas deformaciones: $e=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z$, Para estado isótropo uniforme $e$ proporcional a $3\sigma(1-2\mu)/E$, Trabajo interno específico: $T^{*}=\tfrac{1}{2}(\sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y+\sigma_z\varepsilon_z)+\tfrac{1}{2}G(\gamma_{xy}^2+\gamma_{xz}^2+\gamma_{yz}^2)$, Relación entre deformaciones y tensiones: $\varepsilon_x=\dfrac{1}{E}(\sigma_x-\mu(\sigma_y+\sigma_z))$, Separación energética en dilatación y distorsión, Aplicaciones: cimentaciones, componentes mecánicos, geotecnia