Resumen de Ejercicios Fundamentales de Probabilidad
Ejercicios Fundamentales de Probabilidad: Guía Completa
Introducción
La siguiente guía reúne ejercicios resueltos y explicaciones sobre problemas clásicos de probabilidad condicional, reglas de conteo y eventos compuestos. Está orientada a estudiantes universitarios que quieren practicar técnicas de cálculo de probabilidades, interpretación de tablas de contingencia y aplicar el teorema de Bayes.
Definición: La probabilidad de un evento es un número entre $0$ y $1$ que mide la posibilidad de que ocurra ese evento, y cumple las reglas axiomáticas de Kolmogórov.
Conceptos clave desglosados
1. Tablas de contingencia y probabilidades marginales
- Una tabla de contingencia resume frecuencias conjuntas por categorías (por ejemplo, edad y preferencia de programa).
- Para obtener probabilidades se divide cada celda por el total de observaciones.
Definición: Probabilidad condicional $P(A\mid B)$ es la probabilidad de $A$ dado que $B$ ocurrió, y se calcula como $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ si $P(B)>0$.
2. Selección sin reemplazo y combinatoria
- Cuando se extraen dos objetos de una población finita sin reemplazo, las probabilidades cambian entre la primera y segunda extracción.
- Uso de combinaciones: el número de formas de elegir $k$ objetos de $n$ es $\binom{n}{k}$. Para probabilidades, se comparan conteos favorables sobre conteos totales.
Definición: Combinación $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ cuenta selecciones sin orden.
3. Teorema de Bayes
- Permite invertir condiciones: calcular $P(A\mid B)$ a partir de $P(B\mid A)$ y probabilidades previas.
- Fórmula: $$P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$$
4. Eventos complementarios y errores de test
- Error de prueba: falsos positivos y falsos negativos.
- La probabilidad de obtener un resultado erróneo es suma de los casos en que el test falla considerando prevalencia.
Problemas resueltos (paso a paso)
Problema 206: Preferencias televisivas (muestra de 130)
Tabla dada: menores de 30 / mayores de 30 por programa
| Programa | Menores de 30 | Mayores de 30 | Total |
|---|---|---|---|
| Noticieros | $15$ | $25$ | $40$ |
| Series | $40$ | $15$ | $55$ |
| Películas | $20$ | $15$ | $35$ |
| Total | $75$ | $55$ | $130$ |
- a) Probabilidades básicas:
- a) "Sea un adulto mayor de 30 años que prefiera las series": $$P(\text{mayor de 30 y series})=\dfrac{15}{130}=\dfrac{3}{26}$$
- b) "Prefiera ver películas": $$P(\text{películas})=\dfrac{35}{130}=\dfrac{7}{26}$$
- b) "Si se elige una persona que prefiere las series, probabilidad de que sea menor de 30": $$P(\text{menor de 30}\mid\text{series})=\dfrac{40}{55}=\dfrac{8}{11}$$
- c) Selección de dos personas al azar (sin reemplazo, población fija 130):
- a) "Ambas sean del mismo grupo etario": hay dos grupos (menores, mayores). Probabilidad es suma de casos donde ambas menores más ambas mayores.
- Ambas menores: $$\dfrac{\binom{75}{2}}{\binom{130}{2}}$$
- Ambas mayores: $$\dfrac{\binom{55}{2}}{\binom{130}{2}}$$
- Resultado: $$P=\dfrac{\binom{75}{2}+\binom{55}{2}}{\binom{130}{2}}$$
- b) "Ambas prefieran las series": $$P=\dfrac{\binom{55}{2}}{\binom{130}{2}}$$
- c) "Una prefiera las películas y otra los noticieros": número de formas favorables $=35\cdot 40$ (elegir una de películas y una de noticieros) y total de pares ordenados sin orden es $\binom{130}{2}$; como no importa el orden, la cuenta directa ya contempla pares distintos, por lo que: $$P=\dfrac{35\cdot 40}{\binom{130}{2}}$$
- a) "Ambas sean del mismo grupo etario": hay dos grupos (menores, mayores). Probabilidad es suma de casos donde ambas menores más ambas mayores.
Problema 207: Control de calidad y outlets
Datos:
-
$8.97%$ de los productos tienen fallas. De éstos, $85%$ no pasa control.
-
$4.03%$ de los productos no tienen fallas y tampoco pasan el control.
-
a) "Probabilidad de que un producto sea enviado al outlet": un producto se envía al outlet cuando no pasa el control. Hay dos contribuciones:
- Productos con fallas que no pasan: $0.0897\times 0.85$
- Productos sin fallas que no pasan: $0.0403$
- Entonces: $$P(\text{outlet})=0.0897\cdot 0.85+0.0403$$
-
b) "Probabilidad de que ten
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Probabilidad y Estadística - Ejercicios
Klíčové pojmy: Convertir frecuencias a probabilidades dividiendo por el total, Calcular probabilidades condicionales con $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$, Aplicar Teorema de Bayes para invertir condiciones: $P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$, Usar combinaciones $\binom{n}{k}$ para selecciones sin reemplazo, Probabilidad de unión: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, Probabilidad complementaria: $P(A^c)=1-P(A)$, Para test diagnósticos, distinguir sensibilidad, especificidad y prevalencia, Al calcular "al menos uno" usar complemento de "ninguno", Sumar contribuciones para eventos que ocurren por varias vías (regla de la probabilidad total), Convertir porcentajes a probabilidades decimales antes de operar