Resumen de Ejercicios Fundamentales de Álgebra y Geometría

## Introducción La presente guía reúne ejercicios y conceptos clave para resolver problemas típicos de matemáticas de nivel secundaria/bachillerato: áreas y perímetros, desarrollo y factorización de expresiones, porcentajes, razones, gráficas de intervalos y triángulos en el plano. El objetivo es dar técnicas claras, ejemplos resueltos y recordatorios rápidos para afrontar exámenes y prácticas. > Definición: Un problema matemático es una situación que requiere aplicar conceptos y procedimientos matemáticos para obtener una solución justificable y verificable. ## Contenidos y conceptos desglosados ### 1. Área y perímetro de figuras planas - Perímetro: suma de las longitudes de los lados de la figura. - Área: medida de la superficie interior de la figura. Fórmulas comunes: - Rectángulo: $$A = b\cdot h$$ $$P = 2b + 2h$$ - Triángulo: $$A = \frac{1}{2}bh$$ - Círculo: $$A = \pi r^{2}$$ $$P = 2\pi r$$ > Definición: El perímetro es la longitud total del contorno de una figura; el área es la cantidad de unidad(es) cuadrada(s) que caben dentro de la figura. Ejemplo práctico: Determinar área y perímetro de una figura compuesta. - Estrategia: descomponer la figura en rectángulos y triángulos, calcular cada área y sumarlas; sumar longitudes exteriores para perímetro. Fun fact: ¿Sabías que el problema de calcular áreas bajo curvas impulsó el desarrollo del cálculo integral en el siglo XVII? ### 2. Desarrollo y simplificación de expresiones algebraicas - Operaciones: eliminar paréntesis con la propiedad distributiva, combinar términos semejantes. Ejemplo 1: $$16 - (x - 1)(x - 3)$$ Expandir el producto: $$(x - 1)(x - 3) = x^{2} - 3x - x + 3 = x^{2} - 4x + 3$$ Sustituir: $$16 - \left(x^{2} - 4x + 3\right)$$ Restar término a término: $$= 16 - x^{2} + 4x - 3$$ Ordenando: $$= -x^{2} + 4x + 13$$ Ejemplo 2: $$2a^{2} + (2a + 3)^{2}$$ Calcular el cuadrado: $$(2a + 3)^{2} = 4a^{2} + 12a + 9$$ Sumar: $$2a^{2} + 4a^{2} + 12a + 9 = 6a^{2} + 12a + 9$$ ### 3. Factorización de expresiones - Factor común: extraer el mayor factor común. - Diferencia de cuadrados: $$u^{2} - v^{2} = (u - v)(u + v)$$ Ejemplo: $$9x^{2} - 6x$$ Factor común $3x$: $$= 3x\left(3x - 2\right)$$ Ejemplo (diferencia de cuadrados): $$100m^{2} - 36n^{2}$$ Extraer factor común primero $4$ o usar directamente: $$= \left(10m\right)^{2} - \left(6n\right)^{2} = \left(10m - 6n\right)\left(10m + 6n\right)$$ Se puede simplificar factorizando $2$ de cada paréntesis si se desea. ### 4. Factorización de trinomios cuadráticos - Buscar dos números que multiplicados den $ac$ y sumados den $b$ (método ac). - Trinomios cuadrados perfectos: $$x^{2} - 18x + 81 = \left(x - 9\right)^{2}$$ Ejemplo: $$15m^{2} - 17m + 4$$ Buscamos pares para $ac = 15\cdot 4 = 60$ que sumen $-17$: $-12$ y $-5$ funcionan. Reescribir: $$15m^{2} - 12m - 5m + 4$$ Factor por agrupación: $$3m\left(5m - 4\right) -1\left(5m - 4\right) = \left(5m - 4\right)\left(3m - 1\right)$$ ### 5. Evaluación numérica usando áreas (calado) - Cuando un dibujo muestra una región sombreada que representa una fracción del total, multiplicar área total por la fracción sombreada. Ejemplo: Si un rectángulo mide $8$ por $5$ y la mitad está sombreada, área total $= 40$, área sombreada $= 20$. ### 6. Porcentajes y aplicaciones financieras básicas - Porcentaje de una cantidad: $$\text{porcentaje} = \text{cantidad} \cdot \frac{\%}{100}$$ Ejemplo: ¿Cuál es el 60% de $5000$? $$0.6\cdot 5000 = 3000$$ Interés simple: $$I = P\cdot r\cdot t$$ donde $P$ es capital, $r$ la tasa (en decimal), $t$ el tiempo en años. Ejemplo: Capital $P = 110000$, interés $I = 39875$, tiempo $t = 2\;\text{años} + 5\;\text{meses} = 2 + 5/12 = \frac{29}{12}\;\text{años}$. Despejar tasa: $$r = \frac{I}{P\,t} = \frac{39875}{110000\cdot \tfrac{29}{12}}$$ Calcular para obtener $r$ y convertir a porcentaje. ### 7. Razón geométrica y aritmética - Razón aritmética (promedio): si dos números son $x$, $y$ y su razón aritmética dada significa que $\frac{x+y}{2} = A$. - Razón ge