Resumen de Ejercicios de Trigonometría, Sucesiones y Geometría

Ejercicios Resueltos: Trigonometría, Sucesiones y Geometría

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Introducción

Este material cubre problemas de progresiones aritméticas y geométricas, sumatorias y aplicaciones básicas en geometría analítica y trigonometría aplicada (sin desarrollar teoría de trigonometría). Está pensado para estudiantes que no asisten a clases y necesitan explicaciones paso a paso, ejemplos resueltos y ejercicios prácticos.

Definición: Una progresión aritmética (P.A.) es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando una constante llamada diferencia común $d$ al término anterior. Una progresión geométrica (P.G.) es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando por una constante llamada razón $r$.

Contenidos principales

1. Progresiones aritméticas (P.A.)

  • Fórmula del término general: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$
  • Suma de los primeros $n$ términos (fórmula útil cuando se conoce $a_1$ y $a_n$): $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$

Definición: La diferencia común $d$ en una P.A. es $d = a_{k+1} - a_k$ para cualquier $k$.

Ejemplo resuelto paso a paso (versión corregida del contenido dado):

  1. "En una P.A. el primer término es $4$ y el décimo noveno término es $8$." Determinar $d$, $a_{30}$ y $a_{10}$.

  • Datos: $a_1 = 4$, $a_{19} = 8$.

  • Usamos $$a_{19} = a_1 + (19-1)d = 4 + 18d = 8.$$

  • Resolviendo: $$18d = 4 \Rightarrow d = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}.$$

  • Término $a_{30}$: $$a_{30} = a_1 + (30-1)d = 4 + 29\cdot\frac{2}{9} = 4 + \frac{58}{9} = \frac{36}{9} + \frac{58}{9} = \frac{94}{9}.$$

  • Término $a_{10}$: $$a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 9\cdot\frac{2}{9} = 4 + 2 = 6.$$

Observaciones:

  • Verifica siempre sustituciones y operaciones con fracciones.
  • Si los datos originales parecen inconsistentes, replantea ecuaciones y revisa signos.

2. Sumatorias y técnicas de reindexado

  • Propiedades útiles:
    • $$\sum_{k=m}^{n} (c,f(k)) = c \sum_{k=m}^{n} f(k)$$
    • $$\sum_{k=m}^{n} (f(k)+g(k)) = \sum_{k=m}^{n} f(k) + \sum_{k=m}^{n} g(k)$$
    • Reindexado: $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1) = \sum_{j=1}^{14} (3(j+8)+1)$$ donde $j=k-8$.

Ejemplo resuelto:

Calcular $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1).$$

Forma 1 (reindexado):

  • Reescribimos con $j=k-8$, entonces $k= j+8$ y $j$ va de $1$ a $14$.

  • $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1) = \sum_{j=1}^{14} (3(j+8)+1) = \sum_{j=1}^{14} (3j+24+1) = \sum_{j=1}^{14} (3j+25).$$

  • Separa sumas: $$= 3\sum_{j=1}^{14} j + 25\cdot 14.$$

  • Usa $$\sum_{j=1}^{14} j = \frac{14\cdot 15}{2} = 105.$$

  • Resultado: $$3\cdot 105 + 350 = 315 + 350 = 665.$$

Forma 2 (diferencia de sumas):

  • $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1) = \sum_{k=1}^{22} (3k+1) - \sum_{k=1}^{8} (3k+1).$$

  • Calcular cada suma con fórmulas de sumas de enteros y constantes da también $665$.

3. Sumas telescópicas (fracciones descompuestas)

  • Técnica: descomponer términos racionales en fracciones parciales que permitan cancelaciones sucesivas.

Ejemplo: calcular $$\sum_{n=4}^{20} \frac{4}{(2n-1)(2n+1)}.$$

  1. Descomposición en fracciones parciales: buscamos $A$ y $B$ tales que

$$\frac{4}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}.$$

Multiplicando por $(2n-1)(2n+1)$:

$$4 = A(2n+1)+B(2n-1) = n(2A+2B) + (A-B).$$

Igualando coeficientes:

  • Coeficiente de $n$: $2A+2B = 0$.
  • Término independiente: $A-B = 4$.

Resolviendo: de $2A+2B=0$ se obtiene $A=-B$. Sustituyendo en $A-B=4$ da $2A=4$, luego $A=2$, $B=-2$.

  1. Entonces

$$\frac{4}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{2n-1} - \frac{2}{2n+1}.$$

  1. La suma telescopa:

$$\sum_{n=4}^{20} \left(\frac{2}{2n-1} - \frac{2}{2n+1}\right) = 2\left(\sum_{n=4}^{20} \frac{1}{2n-1} - \sum_{n=4}^{20} \frac{1}{2n+1}\right).$$

Al escribir los primeros términos se aprecia la cancelación parcial. Evalúa los primeros y últimos términos sobrevivientes para obtener el valor final.

Tip: para sumas telescópicas siempre escribe los primeros 2–3 términos y los últimos 2–3 términos para identificar cancelaciones.

4. Progresiones geométricas (P.G.)

  • Término general: $$a_n = a_1, r^{n-1}.$$
  • Suma de los primeros $n$ términos cuando $r\neq 1$: $$S_n = a_1, \frac{r^n-1}{r-1}.$
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Progresiones y sucesiones

Klíčová slova: Trigonometría, Matemáticas — Problemas de progresiones y trigonometría

Klíčové pojmy: Término general P.A.: $a_n = a_1 + (n-1)d$, Suma P.A.: $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$, Término general P.G.: $a_n = a_1\, r^{n-1}$, Suma P.G.: $S_n = a_1\dfrac{r^n-1}{r-1}$ para $r\neq 1$, Reindexado: cambia variable para empezar sumas en $1$ y simplificar límites, Fracciones parciales para sumas telescópicas producen cancelaciones, Distancia punto-recta: $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, Comprobar soluciones evaluando términos intermedios, Para P.G. con $a_4=810$ y $r=3$, $a_1=30$, Verifica siempre operaciones con fracciones antes de dar resultados finales, Usa la descomposición $\dfrac{4}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{2}{2n-1}-\dfrac{2}{2n+1}$, Para sumas desde $k=m$ a $n$, puede restarse suma desde $1$ a $n$ menos $1$ a $m-1$

## Introducción Este material cubre problemas de progresiones aritméticas y geométricas, sumatorias y aplicaciones básicas en geometría analítica y trigonometría aplicada (sin desarrollar teoría de trigonometría). Está pensado para estudiantes que no asisten a clases y necesitan explicaciones paso a paso, ejemplos resueltos y ejercicios prácticos. > Definición: Una progresión aritmética (P.A.) es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando una constante llamada diferencia común $d$ al término anterior. Una progresión geométrica (P.G.) es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando por una constante llamada razón $r$. ## Contenidos principales ### 1. Progresiones aritméticas (P.A.) - Fórmula del término general: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ - Suma de los primeros $n$ términos (fórmula útil cuando se conoce $a_1$ y $a_n$): $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$ > Definición: La diferencia común $d$ en una P.A. es $d = a_{k+1} - a_k$ para cualquier $k$. Ejemplo resuelto paso a paso (versión corregida del contenido dado): 1) "En una P.A. el primer término es $4$ y el décimo noveno término es $8$." Determinar $d$, $a_{30}$ y $a_{10}$. - Datos: $a_1 = 4$, $a_{19} = 8$. - Usamos $$a_{19} = a_1 + (19-1)d = 4 + 18d = 8.$$ - Resolviendo: $$18d = 4 \Rightarrow d = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}.$$ - Término $a_{30}$: $$a_{30} = a_1 + (30-1)d = 4 + 29\cdot\frac{2}{9} = 4 + \frac{58}{9} = \frac{36}{9} + \frac{58}{9} = \frac{94}{9}.$$ - Término $a_{10}$: $$a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 9\cdot\frac{2}{9} = 4 + 2 = 6.$$ Observaciones: - Verifica siempre sustituciones y operaciones con fracciones. - Si los datos originales parecen inconsistentes, replantea ecuaciones y revisa signos. ### 2. Sumatorias y técnicas de reindexado - Propiedades útiles: - $$\sum_{k=m}^{n} (c\,f(k)) = c \sum_{k=m}^{n} f(k)$$ - $$\sum_{k=m}^{n} (f(k)+g(k)) = \sum_{k=m}^{n} f(k) + \sum_{k=m}^{n} g(k)$$ - Reindexado: $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1) = \sum_{j=1}^{14} (3(j+8)+1)$$ donde $j=k-8$. Ejemplo resuelto: Calcular $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1).$$ Forma 1 (reindexado): - Reescribimos con $j=k-8$, entonces $k= j+8$ y $j$ va de $1$ a $14$. - $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1) = \sum_{j=1}^{14} (3(j+8)+1) = \sum_{j=1}^{14} (3j+24+1) = \sum_{j=1}^{14} (3j+25).$$ - Separa sumas: $$= 3\sum_{j=1}^{14} j + 25\cdot 14.$$ - Usa $$\sum_{j=1}^{14} j = \frac{14\cdot 15}{2} = 105.$$ - Resultado: $$3\cdot 105 + 350 = 315 + 350 = 665.$$ Forma 2 (diferencia de sumas): - $$\sum_{k=9}^{22} (3k+1) = \sum_{k=1}^{22} (3k+1) - \sum_{k=1}^{8} (3k+1).$$ - Calcular cada suma con fórmulas de sumas de enteros y constantes da también $665$. ### 3. Sumas telescópicas (fracciones descompuestas) - Técnica: descomponer términos racionales en fracciones parciales que permitan cancelaciones sucesivas. Ejemplo: calcular $$\sum_{n=4}^{20} \frac{4}{(2n-1)(2n+1)}.$$ 1) Descomposición en fracciones parciales: buscamos $A$ y $B$ tales que $$\frac{4}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}.$$ Multiplicando por $(2n-1)(2n+1)$: $$4 = A(2n+1)+B(2n-1) = n(2A+2B) + (A-B).$$ Igualando coeficientes: - Coeficiente de $n$: $2A+2B = 0$. - Término independiente: $A-B = 4$. Resolviendo: de $2A+2B=0$ se obtiene $A=-B$. Sustituyendo en $A-B=4$ da $2A=4$, luego $A=2$, $B=-2$. 2) Entonces $$\frac{4}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{2n-1} - \frac{2}{2n+1}.$$ 3) La suma telescopa: $$\sum_{n=4}^{20} \left(\frac{2}{2n-1} - \frac{2}{2n+1}\right) = 2\left(\sum_{n=4}^{20} \frac{1}{2n-1} - \sum_{n=4}^{20} \frac{1}{2n+1}\right).$$ Al escribir los primeros términos se aprecia la cancelación parcial. Evalúa los primeros y últimos términos sobrevivientes para obtener el valor final. > Tip: para sumas telescópicas siempre escribe los primeros 2–3 términos y los últimos 2–3 términos para identificar cancelaciones. ### 4. Progresiones geométricas (P.G.) - Término general: $$a_n = a_1\, r^{n-1}.$$ - Suma de los primeros $n$ términos cuando $r\neq 1$: $$S_n = a_1\, \frac{r^n-1}{r-1}.$