Resumen de Ejercicios de Teoría de Conjuntos y Encuestas
Ejercicios de Teoría de Conjuntos y Encuestas: Guía Completa
Introducción
En este material veremos cómo resolver problemas de encuestas que se modelan con operaciones de conjuntos. Estos problemas aparecen con frecuencia en encuestas de mercado, censos y análisis de preferencias, y requieren organizar información sobre solapamientos entre grupos para hallar totales solicitados.
Definición: Un conjunto es una colección bien definida de elementos; las operaciones básicas son unión, intersección y complemento.
Conceptos básicos desglosados
Conjuntos y operaciones esenciales
- Unión: $A\cup B$ contiene elementos que están en $A$ o en $B$ (o en ambos).
- Intersección: $A\cap B$ contiene elementos que están tanto en $A$ como en $B$.
- Complemento: $\overline{A}$ es el conjunto de elementos que no están en $A$ dentro del universo considerado.
Definición: La regla de conteo para dos conjuntos se expresa como $$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.$$ Esto evita contar dos veces a los que están en la intersección.
Definición: Para tres conjuntos se utiliza la fórmula de inclusión-exclusión: $$|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|.$$
Diagramas de Venn
- Un diagrama de Venn ayuda a ubicar números: zonas exclusivas de cada conjunto, zonas de intersección a pares y la zona central de intersección triple.
- Para resolver, usualmente se trabaja desde la intersección triple hacia afuera, restando las intersecciones ya contadas.
Estrategia paso a paso para resolver encuestas
- Identificar el universo $U$ (total encuestados) o dejarlo como incógnita si no se da.
- Señalar cantidades de cada conjunto y de sus intersecciones (pares y triple si existen).
- Dibujar un diagrama de Venn con etiquetas para: solo $A$, solo $B$, solo $C$, $A\cap B$ sin $C$, etc.
- Rellenar primero la intersección triple $|A\cap B\cap C|$ si está dada.
- Calcular las intersecciones a pares excluyendo la triple: por ejemplo, la zona exclusiva de $A\cap B$ es $$|A\cap B| - |A\cap B\cap C|.$$
- Calcular las zonas "solo" restando las intersecciones correspondientes.
- Si falta el total, usar la suma de todas las zonas disjuntas para encontrar $|U|$.
Ejemplos prácticos (resueltos)
Ejemplo 1 (dos conjuntos)
Problema: En una farmacia se vendieron $66$ cremas, $21$ lociones y $12$ ambos. ¿Cuántas personas compraron al menos uno de los dos productos? ¿Cuántas compraron solo loción y solo crema?
Solución paso a paso:
- Sea $C$ el conjunto que compró crema y $L$ el que compró loción.
- Dado: $|C|=66$, $|L|=21$, $|C\cap L|=12$.
- Al menos uno: $$|C\cup L| = 66 + 21 - 12 = 75.$$
- Solo loción: $$|L| - |C\cap L| = 21 - 12 = 9.$$
- Solo crema: $$|C| - |C\cap L| = 66 - 12 = 54.$$
Aplicación real: útil para calcular ventas únicas y clientes que compraron paquetes.
Ejemplo 2 (tres conjuntos - cálculo del total)
Problema: Empleados con casa ($H$), automóvil ($A$) y televisor ($T$): $|H|=277$, $|A|=233$, $|T|=405$, $|A\cap T|=165$, $|A\cap H|=120$, $|H\cap T|=190$, $|H\cap A\cap T|=105$. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
Solución:
Usamos inclusión-exclusión:
$$|H\cup A\cup T| = 277 + 233 + 405 - 165 - 120 - 190 + 105.$$
Calculamos:
$$|H\cup A\cup T| = 915 - 475 + 105 = 545.$$
Por tanto, se encuestaron $545$ personas.
Además, para hallar "solo casa" usamos:
- Zona de $H$ solo: $$|H| - (|H\cap A| - |H\cap A\cap T|) - (|H\cap T| - |H\cap A\cap T|) - |H\cap A\cap T|.$$
Más directo:
Zona $H$ solo = $$|H| - |H\cap A| - |H\cap T| + |H\cap A\cap T| = 277 - 120 - 190 + 105 = 72.$$
Zona "solo casa y televisor" (excluyendo automóvil) es $$|H\cap T| - |H\cap A\cap T| = 190 - 105 = 85.$$
Ejemplo 3 (idiomas, ver diagrama)
Problema: Curso de $22$ alumnos con idiomas: alemán $12$, inglés $11$, francés $11$, $|A\cap I|=6$, $|I\cap F|=7$, $|A\cap F|=5$, triple $=2$. ¿Cuántos estudian solo inglés?
Solución:
Zona solo inglés = $$|I| - (|I\cap A| - \text{triple}) - (|I\cap F| - \text{triple}) - \text{triple}$$
Sustituyendo: $$11 -
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Encuestas y operaciones con conjuntos
Klíčová slova: Problemas de conjuntos (encuestas), Problemas de conjuntos y encuestas
Klíčové pojmy: Usar diagrama de Venn para organizar datos, Fórmula para dos conjuntos: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$, Fórmula para tres conjuntos: inclusión-exclusión, Rellenar primero la intersección triple, Intersección a pares exclusiva = $|A\cap B|-|A\cap B\cap C|$, Zona "solo X" = $|X|-$ (sumas de intersecciones que contienen X) $+|A\cap B\cap C|$ cuando aplica, Comprobar que suma de zonas disjuntas = total del universo, Si falta el total, plantear ecuación con inclusión-exclusión, Para practicar, resolver casos con 2 y 3 conjuntos antes de complicar, Restar intersecciones para evitar doble conteo