Resumen de Ejercicios de Estadística y Geometría
Ejercicios de Estadística y Geometría: Guía Completa para Estudiantes
Introducción
La estadística nos ayuda a organizar, describir y entender datos del mundo real. Con gráficos y tablas podemos ver rápidamente qué prefieren las personas, cuántas cosas se vendieron o cómo se distribuyen colores o deportes entre estudiantes.
Definición: La estadística es la rama de las matemáticas que recoge, organiza, analiza e interpreta datos para tomar decisiones.
Partes básicas
- Dato: información simple (por ejemplo: "azul", "50 libros").
- Frecuencia: cuántas veces aparece un dato.
- Frecuencia relativa: la fracción de la vez que aparece un dato respecto al total, se escribe como $h_i$.
- Frecuencia porcentual: la frecuencia relativa multiplicada por 100, se escribe como $h_i%$.
Definición: La frecuencia absoluta $f_i$ es el conteo de veces que ocurre un valor; la frecuencia relativa $h_i$ se calcula como $h_i = \frac{f_i}{N}$, donde $N$ es el total de datos; la frecuencia porcentual es $h_i% = 100\cdot h_i$.
Cómo completar una tabla de frecuencias (pasos)
- Contar cuántas veces aparece cada categoría para obtener $f_i$.
- Calcular $N = $ suma de todas las frecuencias absolutas.
- Calcular $h_i = \dfrac{f_i}{N}$ para cada categoría.
- Calcular $h_i% = 100\cdot h_i$.
Ejemplo 1: Preferencias de productos (100 personas)
Tabla dada:
| Producto | Frecuencia Absoluta ($f_i$) | Frecuencia relativa ($h_i$) | Frecuencia porcentual ($h_i%$) |
|---|---|---|---|
| Laptops | 12 | ||
| Tabletas | 0.14 | ||
| Smartphones | 25 | ||
| Audífonos inalámbricos | 35% | ||
| Relojes Inteligentes | 14 | ||
| Total |
Pasos:
- Como la encuesta fue a $N=100$ personas, la frecuencia porcentual y la frecuencia absoluta son equivalentes numéricamente cuando $N=100$: $f_i = N\cdot h_i = 100\cdot h_i$ y $h_i% = 100\cdot h_i$.
- Tabletas: $h_i=0.14$ entonces $f_i=100\cdot 0.14 = 14$ y $h_i%=14%$.
- Audífonos: $h_i%=35%$ entonces $f_i=35$ y $h_i=0.35$.
- Ya tenemos $f_{Laptops}=12$, $f_{Tabletas}=14$, $f_{Smartphones}=25$, $f_{Aud\acute{i}fonos}=35$, $f_{Relojes}=14$.
- Verificar total: $12+14+25+35+14 = 100$.
Tabla completa:
| Producto | Frecuencia Absoluta ($f_i$) | Frecuencia relativa ($h_i$) | Frecuencia porcentual ($h_i%$) |
|---|---|---|---|
| Laptops | 12 | $\dfrac{12}{100}=0.12$ | 12% |
| Tabletas | 14 | $\dfrac{14}{100}=0.14$ | 14% |
| Smartphones | 25 | $\dfrac{25}{100}=0.25$ | 25% |
| Audífonos inalámbricos | 35 | $\dfrac{35}{100}=0.35$ | 35% |
| Relojes Inteligentes | 14 | $\dfrac{14}{100}=0.14$ | 14% |
| Total | 100 | 1.00 | 100% |
Pregunta: ¿Cuál es la diferencia porcentual entre Smartphones y Tabletas?
- Smartphones $=25%$, Tabletas $=14%$, diferencia $=25%-14%=11%$.
Situación 1: Color favorito (conteo)
Datos en filas (20 respuestas):
| negro | azul | amarillo | rojo | azul | | azul | rojo | negro | amarillo | rojo | | rojo | amarillo | amarillo | azul | rojo | | negro | azul | rojo | negro | amarillo |
Contemos cada color:
- Negro: cuente: aparece en posiciones: 1, 8, 17, 19 => $f_{Negro}=4$.
- Azul: aparece: 2, 5, 6, 13, 16 => $f_{Azul}=5$.
- Amarillo: aparece: 3, 9, 11, 12, 20 => $f_{Amarillo}=5$.
- Rojo: aparece: 4, 7, 10, 14, 15, 18 => $f_{Rojo}=6$.
- Verificar total $N=4+5+5+6=20$.
Calculemos frecuencias relativas y porcentajes:
- $h_{Negro}=\dfrac{4}{20}=0.20$, $h_{Negro}%=20%$.
- $h_{Azul}=\dfrac{5}{20}=0.25$, $h_{Azul}%=25%$.
- $h_{Amarillo}=\dfrac{5}{20}=0.25$, $h_{Amarillo}%=25%$.
- $h_{Rojo}=\dfrac{6}{20}=0.30$, $h_{Rojo}%=30%$.
Frecuencia absoluta acumulada $F_i$ (orden con un orden cualquiera, por ejemplo Negro, Azul, Rojo, Amarillo):
- $F_{Negro}=4$.
- $F_{Azul}=4+5=9$.
- $F_{Rojo}=9+6=15$.
- $F_{Amarillo}=15+5=20$.
Tabla completa:
| Color favorito | Conteo | Frecuencia Absoluta ($f_{i}$) | Frecuencia Absoluta Acumulada ($F_{i}$) | Frecuencia Relativa ($h_{i}$) | Frecuencia Porcentual ($h_{i}%$) |
|---|---|---|---|---|---|
| Negro | 4 | 4 | 4 | $\dfrac{4}{20}=0.20$ | 20% |
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Estadística Básica
Klíčové pojmy: La estadística organiza e interpreta datos, Frecuencia absoluta $f_i$ es el conteo de una categoría, Frecuencia relativa $h_i=\dfrac{f_i}{N}$, Frecuencia porcentual $h_i\%=100\cdot h_i$, Para completar tablas: contar, dividir por $N$, multiplicar por 100, En encuestas con $N=100$, $f_i$ y $h_i\%$ son iguales, Gráfico de barras dobles compara dos series por categoría, Verifica siempre que las frecuencias sumen el total, La frecuencia acumulada $F_i$ suma las frecuencias hasta esa categoría, Al construir gráficos, etiqueta e incluye leyenda para claridad
## Introducción
La **estadística** nos ayuda a organizar, describir y entender datos del mundo real. Con gráficos y tablas podemos ver rápidamente qué prefieren las personas, cuántas cosas se vendieron o cómo se distribuyen colores o deportes entre estudiantes.
> Definición: La estadística es la rama de las matemáticas que recoge, organiza, analiza e interpreta datos para tomar decisiones.
### Partes básicas
- **Dato**: información simple (por ejemplo: "azul", "50 libros").
- **Frecuencia**: cuántas veces aparece un dato.
- **Frecuencia relativa**: la fracción de la vez que aparece un dato respecto al total, se escribe como $h_i$.
- **Frecuencia porcentual**: la frecuencia relativa multiplicada por 100, se escribe como $h_i\%$.
> Definición: La frecuencia absoluta $f_i$ es el conteo de veces que ocurre un valor; la frecuencia relativa $h_i$ se calcula como $h_i = \frac{f_i}{N}$, donde $N$ es el total de datos; la frecuencia porcentual es $h_i\% = 100\cdot h_i$.
## Cómo completar una tabla de frecuencias (pasos)
1. Contar cuántas veces aparece cada categoría para obtener $f_i$.
2. Calcular $N = $ suma de todas las frecuencias absolutas.
3. Calcular $h_i = \dfrac{f_i}{N}$ para cada categoría.
4. Calcular $h_i\% = 100\cdot h_i$.
### Ejemplo 1: Preferencias de productos (100 personas)
Tabla dada:
| Producto | Frecuencia Absoluta ($f_i$) | Frecuencia relativa ($h_i$) | Frecuencia porcentual ($h_i\%$) |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| Laptops | 12 | | |
| Tabletas | | 0.14 | |
| Smartphones | 25 | | |
| Audífonos inalámbricos | | | 35% |
| Relojes Inteligentes | 14 | | |
| Total | | | |
Pasos:
- Como la encuesta fue a $N=100$ personas, la frecuencia porcentual y la frecuencia absoluta son equivalentes numéricamente cuando $N=100$: $f_i = N\cdot h_i = 100\cdot h_i$ y $h_i\% = 100\cdot h_i$.
- Tabletas: $h_i=0.14$ entonces $f_i=100\cdot 0.14 = 14$ y $h_i\%=14\%$.
- Audífonos: $h_i\%=35\%$ entonces $f_i=35$ y $h_i=0.35$.
- Ya tenemos $f_{Laptops}=12$, $f_{Tabletas}=14$, $f_{Smartphones}=25$, $f_{Aud\acute{i}fonos}=35$, $f_{Relojes}=14$.
- Verificar total: $12+14+25+35+14 = 100$.
Tabla completa:
| Producto | Frecuencia Absoluta ($f_i$) | Frecuencia relativa ($h_i$) | Frecuencia porcentual ($h_i\%$) |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| Laptops | 12 | $\dfrac{12}{100}=0.12$ | 12% |
| Tabletas | 14 | $\dfrac{14}{100}=0.14$ | 14% |
| Smartphones | 25 | $\dfrac{25}{100}=0.25$ | 25% |
| Audífonos inalámbricos | 35 | $\dfrac{35}{100}=0.35$ | 35% |
| Relojes Inteligentes | 14 | $\dfrac{14}{100}=0.14$ | 14% |
| Total | 100 | 1.00 | 100% |
Pregunta: ¿Cuál es la diferencia porcentual entre Smartphones y Tabletas?
- Smartphones $=25\%$, Tabletas $=14\%$, diferencia $=25\%-14\%=11\%$.
### Situación 1: Color favorito (conteo)
Datos en filas (20 respuestas):
| negro | azul | amarillo | rojo | azul |
| azul | rojo | negro | amarillo | rojo |
| rojo | amarillo | amarillo | azul | rojo |
| negro | azul | rojo | negro | amarillo |
Contemos cada color:
- Negro: cuente: aparece en posiciones: 1, 8, 17, 19 => $f_{Negro}=4$.
- Azul: aparece: 2, 5, 6, 13, 16 => $f_{Azul}=5$.
- Amarillo: aparece: 3, 9, 11, 12, 20 => $f_{Amarillo}=5$.
- Rojo: aparece: 4, 7, 10, 14, 15, 18 => $f_{Rojo}=6$.
- Verificar total $N=4+5+5+6=20$.
Calculemos frecuencias relativas y porcentajes:
- $h_{Negro}=\dfrac{4}{20}=0.20$, $h_{Negro}\%=20\%$.
- $h_{Azul}=\dfrac{5}{20}=0.25$, $h_{Azul}\%=25\%$.
- $h_{Amarillo}=\dfrac{5}{20}=0.25$, $h_{Amarillo}\%=25\%$.
- $h_{Rojo}=\dfrac{6}{20}=0.30$, $h_{Rojo}\%=30\%$.
Frecuencia absoluta acumulada $F_i$ (orden con un orden cualquiera, por ejemplo Negro, Azul, Rojo, Amarillo):
- $F_{Negro}=4$.
- $F_{Azul}=4+5=9$.
- $F_{Rojo}=9+6=15$.
- $F_{Amarillo}=15+5=20$.
Tabla completa:
| Color favorito | Conteo | Frecuencia Absoluta ($f_{i}$) | Frecuencia Absoluta Acumulada ($F_{i}$) | Frecuencia Relativa ($h_{i}$) | Frecuencia Porcentual ($h_{i}\%$) |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| Negro | 4 | 4 | 4 | $\dfrac{4}{20}=0.20$ | 20% |
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