Resumen de Ecuaciones Diferenciales: Coeficientes Indeterminados

## Introducción Las **ecuaciones diferenciales lineales** con coeficientes constantes son una clase fundamental de ecuaciones que aparecen en muchos modelos físicos e ingenieriles. En este material veremos la solución de las ecuaciones homogéneas de orden $n$ y el **método de coeficientes indeterminados** (enfoque de superposición) para obtener soluciones particulares de ecuaciones no homogéneas. > Definición: Una ecuación diferencial lineal de orden $n$ con coeficientes constantes tiene la forma $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = g(x)$$ donde $a_i$ son constantes y $g(x)$ es la función no homogénea. ## Parte I: Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes ### Planteamiento Para la ecuación homogénea asociada $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0$$ se busca una solución de la forma $y = e^{rx}$. Sustituyendo se obtiene la **ecuación característica**: $$a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0$$ > Definición: La ecuación polinómica anterior se denomina ecuación característica y sus raíces determinan la estructura de la solución general. ### Tipos de raíces y soluciones linealmente independientes - Si $r$ es una raíz real simple, contribuye con $e^{rx}$. - Si $r$ es raíz real de multiplicidad $m$, las soluciones asociadas son $$e^{rx},\; x e^{rx},\; x^2 e^{rx},\; \dots,\; x^{m-1} e^{rx}.$$ - Si aparece una conjugada compleja $\alpha \pm i\beta$ (multiplicidad $m$), las soluciones reales asociadas son $$e^{\alpha x}\cos(\beta x),\; e^{\alpha x}\sin(\beta x),\; x e^{\alpha x}\cos(\beta x),\; x e^{\alpha x}\sin(\beta x),\; \dots$$ hasta multiplicidad $m$. ### Ejemplo (esquema) Dada la ecuación homogénea asociada con ecuación característica cuyas raíces son $r_1, r_2, \dots, r_n$, las soluciones linealmente independientes son $y_1, y_2, \dots, y_n$ y la solución general es $$y_c(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \dots + C_n y_n(x).$$ ## Parte II: Método de coeficientes indeterminados (enfoque de superposición) ### Idea general Para una ecuación no homogénea $$a_n y^{(n)} + \dots + a_0 y = g(x)$$ su solución general se escribe como $$y(x) = y_c(x) + y_p(x)$$ donde $y_c$ es la solución general de la ecuación homogénea asociada y $y_p$ es una solución particular. > Definición: El método de coeficientes indeterminados propone una forma para $y_p$ con parámetros desconocidos que se determinan sustituyendo en la ecuación y ajustando los coeficientes. ### Pasos del método 1. Resolver la ecuación homogénea asociada y obtener $y_c(x)$. 2. Proponer una forma para $y_p(x)$ basada en $g(x)$ (suma de términos similares): polinomios, exponenciales $e^{\alpha x}$, senos/cosenos $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ y productos de éstos. 3. Si alguna parte propuesta para $y_p$ coincide con una solución de $y_c$, multiplicar por la menor potencia de $x$ necesaria para eliminar la degeneración (por ejemplo $x$, $x^2$, ...). 4. Sustituir $y_p$ en la ecuación y resolver para los coeficientes desconocidos. 5. Construir $y(x)=y_c(x)+y_p(x)$ y ajustar constantes iniciales si hay condiciones iniciales. ### Reglas de propuesta comunes (tabla) | Terminología de $g(x)$ | Forma propuesta para $y_p$ | Observación si toca multiplicar por $x^k$ | | --- | ---: | --- | | Polinomio grado $n$ | $Ax^n + \dots + K$ | Multiplicar por $x^k$ si polinomios aparecen en $y_c$ | | $e^{\alpha x} P(x)$ | $e^{\alpha x} Q(x)$ con $\deg Q = \deg P$ | Si $e^{\alpha x}$ corresponde a raíz de multiplicidad $m$, multiplicar por $x^m$ | | $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ o $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ | $e^{\alpha x}\left(R(x)\cos(\beta x)+S(x)\sin(\beta x)\right)$ | Ajustar grado de $R,S$ y multiplicar por $x^k$ si coincide con $y_c$ | ### Caso especial: solapamiento con la solución complementaria Si la propuesta inicial de $y_p$ es solución de la homogénea, entonces al sustituir dará $0$ y no permitirá determinar coeficientes. En ese caso multiplicar por la potencia mínima $x^k$ tal que la nueva propuesta sea independiente.