Resumen de Conceptos Fundamentales de Probabilidad

## Introducción La probabilidad estudia el comportamiento del azar y nos permite asignar números a la posibilidad de que ocurran ciertos sucesos cuando se realiza un experimento. En este material veremos los conceptos básicos relacionados con experimentos, espacios muestrales y eventos, con ejemplos prácticos y ejercicios para un estudiante que no asiste a clase. ## Conceptos básicos ### ¿Qué es un experimento? > **Definición:** Un experimento es un proceso que genera un conjunto de resultados observables cuando se realiza una acción en condiciones dadas. - Un experimento puede ser tan simple como lanzar una moneda o tan complejo como aplicar una encuesta. - Importante distinguir tipos de experimentos según la predictibilidad del resultado. ### Tipos de experimentos | Tipo | Descripción | Ejemplo | ¿Se puede predecir? | |---|---:|---|:---:| | Determinista | El resultado se puede predecir con certeza antes de realizarlo | Calentar agua hasta que hierva (a 100 °C a presión normal) | Sí | | Aleatorio | El resultado no puede predecirse con exactitud; sujeto al azar | Lanzar una moneda, tirar un dado | No | > **Definición:** Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse con exactitud antes de realizarlo, aunque conocemos todos los resultados posibles. ### Condiciones para que un experimento sea aleatorio - (i) Todos los posibles resultados son conocidos antes de realizar el experimento. - (ii) Antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener. - (iii) El experimento puede repetirse en condiciones idénticas. Did you know que para considerar un experimento verdaderamente aleatorio es importante que las repeticiones sean independientes y las condiciones se mantengan constantes? ## Espacio muestral (Ω) > **Definición:** El espacio muestral, denotado por $\Omega$, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. - Se escribe $\Omega = \{\text{resultados}\}$. - El número de elementos del espacio muestral lo denotamos $N(\Omega)$. ### Ejemplos básicos - Lanzar una moneda: $\Omega = \{C, S\}$ y $N(\Omega)=2$. - Lanzar un dado: $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ y $N(\Omega)=6$. - Lanzar una moneda dos veces: $\Omega = \{CC, CS, SC, SS\}$ y $N(\Omega)=4$. - Lanzar una moneda tres veces: $\Omega$ tiene $2^3 = 8$ elementos, por ejemplo $\{CCC, CCS, CSC, \dots, SSS\}$. ### Regla general del conteo - Si un objeto puede caer de $a$ maneras y se realiza el experimento $n$ veces, entonces $$N(\Omega) = a^{n}$$ Ejemplos: - Lanzar un dado $n=1$ vez: $a=6$, $N(\Omega)=6^{1}=6$. - Lanzar el dado dos veces: $N(\Omega)=6^{2}=36$ y los resultados se representan como pares ordenados: $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$. ## Evento o suceso > **Definición:** Un evento (o suceso) es cualquier subconjunto de $\Omega$, es decir, un conjunto de resultados posibles. - Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, el evento "obtener número par" es $A = \{2,4,6\}$. - El evento vacío $\varnothing$ no contiene resultados; el evento seguro es $\Omega$. ### Representación y operaciones con eventos - Unión: $A \cup B$ (ocurre $A$ o $B$ o ambos). - Intersección: $A \cap B$ (ocurren $A$ y $B$ simultáneamente). - Complemento: $A^{c}$ (no ocurre $A$). ## Cómo construir espacios muestrales: pasos prácticos 1. Definir claramente el experimento (qué se obtiene en una repetición). 2. Identificar las maneras posibles de cada elemento básico. 3. Usar producto cartesiano si hay repeticiones independientes. 4. Listar todos los resultados o describirlos con una regla clara. Ejemplos de práctica (resueltos): - E1: Preguntar el voto a un estudiante que votó si hubo 5 listas. Resultado posible: una de las 5 listas. Entonces $$\Omega = \{L_{1}, L_{2}, L_{3}, L_{4}, L_{5}\},\quad N(\Omega)=5.$$ - E2: Asignar la edad a cada estudiante de la clase: si se pide como "edad exacta" y el rango admitido es de $18$ a $30$ años (por ejemplo), entonces $$\Omega = \{18,19,\dots,30\},\quad N(\Omega)=13.$$ (Si la edad se registra