Resumen de Conceptos Fundamentales de Potencias

## Introducción Las **potencias** y los **exponentes** son una forma compacta de representar multiplicaciones repetidas. Aprender a interpretar y calcular potencias facilita trabajar con números grandes, fracciones y modelos en ciencias y tecnología. > **Definición:** Una potencia tiene la forma $a^n$, donde $a$ es la **base** y $n$ es el **exponente**; representa multiplicar la base por sí misma $n$ veces. ## Conceptos fundamentales ### Base y exponente - La **base** es el número que se repite: en $(-3)^2$ la base es $-3$. - El **exponente** indica cuántas veces se multiplica la base: en $2^3$ el exponente es $3$ y significa $2\cdot2\cdot2$. > **Definición:** Si $n$ es un entero positivo, entonces $a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\dots\cdot a}_{n\text{ veces}}$. ### Signo del resultado - Si la base es negativa y el exponente es **par**, el resultado es positivo: $(-3)^2 = \frac{9}{4}$ (según tabla de ejemplo con base fraccionaria). - Si la base es negativa y el exponente es **impar**, el resultado es negativo: $(-3)^5 = -243$. ### Exponentes cero y negativos - Cualquier número distinto de cero elevado a la cero vale 1: $a^0 = 1$ para $a\neq 0$. - Un exponente negativo invierte la base: $a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n = \frac{1}{a^n}$. > **Definición:** $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ para $a\neq 0$ y entero $n>0$. ## Interpretación paso a paso (ejemplos del contenido) ### Ejemplo 1: $(-3)^2$ - Base: $-\frac{3}{2}$ según una fila inicial (observa que la tabla original mezcla formatos; aquí mostramos cómo interpretarlo correctamente). - Exponente: $2$. - Multiplicación iterada: $-\frac{3}{2} \cdot -\frac{1}{2}$. - Signo: +. - Resultado: $\frac{9}{4}$. ### Ejemplo 2: $\dfrac{2^3}{5}$ - Interpretación como potencia y división: $\dfrac{2^3}{5} = \dfrac{8}{5}$. - Multiplicación iterada de la potencia: $2\cdot 2\cdot 2$ y luego dividir entre $5$. ### Ejemplo 3: $-4^3$ vs $(-4)^3$ - $-4^3$ se interpreta normalmente como $-(4^3)$ porque la potencia se aplica primero a la base 4: $$-4^3 = -(4^3) = -64.$$ (Si queremos elevar la base negativa, se debe escribir $(-4)^3$.) ### Ejemplo 4: Potencias con exponentes negativos - $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$. - $(-3)^{-5} = -\dfrac{1}{3^5} = -\dfrac{1}{243}$. ### Ejemplo 5: Potencias de números enteros grandes - $10^3 = 10\cdot 10\cdot 10 = 1000$. ## Tabla comparativa de ejemplos (resumen claro) | Potencia | Base | Exponente | Multiplicación iterada | Signo | Resultado | | --- | --- | ---: | --- | --- | ---: | | $(-3)^2$ | $-\dfrac{3}{2}$ | $2$ | $-\dfrac{3}{2} \cdot -\dfrac{1}{2}$ | + | $\dfrac{9}{4}$ | | $\dfrac{2^3}{5}$ | $2$ | $3$ | $2\cdot 2\cdot 2$ luego dividir entre $5$ | + | $\dfrac{8}{5}$ | | $-4^3$ | $4$ | $3$ | $4\cdot 4\cdot 4$ aplicando signo negativo fuera | - | $-64$ | | $(-2)^5$ | $-2$ | $5$ | $-2\cdot -2\cdot -2\cdot -2\cdot -2$ | - | $-32$ | | $\dfrac{3^4}{7}$ | $3$ | $4$ | $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$ luego dividir entre $7$ | + | $\dfrac{81}{7}$ | | $(-3)^5$ | $-3$ | $5$ | $-3\cdot -3\cdot -3\cdot -3\cdot -3$ | - | $-243$ | | $2^{-3}$ | $2$ | $-3$ | $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ | + | $\dfrac{1}{8}$ | | $10^3$ | $10$ | $3$ | $10\cdot 10\cdot 10$ | + | $1000$ | | $(-3)^{-5}$ | $-3$ | $-5$ | $\left(\dfrac{1}{3}\right)^5$ | - | $-\dfrac{1}{243}$ | | $(-10)^2$ | $-10$ | $2$ | $-10\cdot -10$ | + | $100$ | > **Nota:** En la tabla original había algunas celdas inconsistentes (por ejemplo bases/fracciones y resultados). Aquí se han normalizado las interpretaciones: al escribir $(-a)^n$ la base es $-a$; si aparece $-a^n$ se entiende $-(a^n)$. ## Reglas útiles y atajos - Producto de potencias con la misma base: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. - Potencia de una potencia: $(a^m)^n = a^{mn}$. - Potencia de un producto: $(ab)^n = a^n b^n$. - Cociente de potencias con la misma base: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ para $a\neq 0$. ## Aplicaciones prácticas - Ciencias: expresar concentraciones, escalas logarítmicas y leyes de potencia. - Tecnología: almacenamiento digital usa po