Resumen de Conceptos Fundamentales de Matemáticas

## Introducción Las desigualdades lineales en dos variables relacionan dos cantidades mediante una expresión de la forma $ax + by \leq c$, $ax + by \geq c$, $ax + by < c$ o $ax + by > c$. Su solución es un conjunto de pares ordenados $(x,y)$ que se pueden representar gráficamente en el plano cartesiano. Este material explica cómo convertir la desigualdad en una recta, cómo identificar la región solución y cómo comprobar puntos concretos en contextos reales. > Definición: Una desigualdad lineal en dos variables es una relación de la forma $ax + by \rel c$, donde $a$, $b$ y $c$ son constantes y $\rel$ es uno de los símbolos $<$, $\leq$, $>$, $\geq$. ## 1. De la desigualdad a la recta ### Despejar $y$ Para graficar la frontera de la desigualdad conviene despejar $y$. Dada $$ax + by \rel c$$ se despeja como $$by \rel c - ax$$ y luego $$y \rel \frac{c - ax}{b}$$ Esto permite identificar la recta frontera cambiando $\rel$ por igualdad. ### Obtener dos puntos para la recta - Sustituye $x = 0$ para hallar el punto $(0,y)$ sobre la recta: $$y = \frac{c}{b}$$ - Sustituye $y = 0$ para hallar el punto $(x,0)$ sobre la recta: $$x = \frac{c}{a}$$ Con esos dos puntos se traza la recta que delimita la región. > Tip: Para graficar una recta basta conocer dos puntos distintos en ella. ## 2. Identificar la región solución Hay cuatro casos según el signo de la desigualdad y si la recta está incluida: | Caso | Condición | Región respecto a la recta | Recta incluida? | |---|---:|---|---:| | 1 | $ax + by > c$ | Región por encima de la recta | No | | 2 | $ax + by < c$ | Región por debajo de la recta | No | | 3 | $ax + by \geq c$ | Región por encima de la recta | Sí | | 4 | $ax + by \leq c$ | Región por debajo de la recta | Sí | - Después de trazar la recta, selecciona un punto de prueba (por ejemplo $(0,0)$ si no está en la recta) y sustitúyelo en la desigualdad para saber qué lado es solución. Did you know that testing the point $(0,0)$ is a quick method to decide which side of a line is the solution when the line does not pass through the origin? ## 3. Restricciones del contexto En problemas aplicados a minutos de llamadas y megabytes de datos existen restricciones naturales: - $x \geq 0$, $y \geq 0$ porque no se permiten valores negativos. - Solo se consideran pares $(x,y)$ dentro del primer cuadrante. - Si la desigualdad incluye igualdad ($\leq$ o $\geq$), los puntos sobre la recta son permitidos. > Definición: El dominio real del problema está acotado por las condiciones del contexto; por ejemplo, en combinaciones de llamadas y datos exigimos $x \geq 0$, $y \geq 0$. ## 4. Comprobación algebraica de puntos Para verificar si un par $(x_0,y_0)$ satisface la desigualdad sustituye en la expresión original. Ejemplo práctico: Planteamiento: con una recarga de $30$ la tarifa produce la desigualdad $$0.75x + 0.60y \leq 30$$ Comprobar $(20,30)$: $$0.75\cdot 20 + 0.60\cdot 30 = 15 + 18 = 33$$ Como $33 \leq 30$ es falso, $(20,30)$ NO es solución. Comprobar $(20,20)$: $$0.75\cdot 20 + 0.60\cdot 20 = 15 + 12 = 27$$ Como $27 \leq 30$ es verdadero, $(20,20)$ sí es solución. ## 5. Ejemplos paso a paso 1) Encontrar la recta frontera para $$0.75x + 0.60y \leq 30$$ - $x=0$ da $$y = \frac{30}{0.60} = 50$$ punto $(0,50)$ - $y=0$ da $$x = \frac{30}{0.75} = 40$$ punto $(40,0)$ Traza la recta entre $(0,50)$ y $(40,0)$. La desigualdad es $\leq$, por lo tanto la región solución es el área por debajo de la recta incluyendo la recta, pero limitada al primer cuadrante $x\ge 0$, $y\ge 0$. 2) Comprobación de opciones (contexto de selección): - A) $(20,30)$: sustituir y obtener $33 > 30$ no cumple - B) $(30,20)$: $0.75\cdot30 + 0.60\cdot20 = 22.5 + 12 = 34.5 > 30$ no cumple - C) $(20,20)$: $27 \le 30$ cumple - D) $(30,30)$: $22.5 + 18 = 40.5 > 30$ no cumple Respuesta: C) $(20,20)$. Fun fact: Graficar la recta con solo los puntos donde $x=0$ y $y=0$ es suficiente para cualquier desigualdad lineal en dos variables, por eso es una técnica estándar en geometría analí