Resumen de Conceptos Fundamentales de Matemáticas

## Introducción La presente guía reúne los conceptos esenciales de Matemáticas escolares para nivel medio superior. Está diseñada para reforzar habilidades en aritmética con enteros, fracciones y decimales, proporcionalidad, porcentajes, álgebra lineal básica, sistemas de ecuaciones y medidas geométricas y estadísticas. Cada sección incluye definiciones, ejemplos resueltos y aplicaciones prácticas. ## Números, fracciones y decimales ### Conversión entre fracciones decimales y notación decimal > Definición: Una fracción decimal es aquella cuyo denominador es potencia de 10, es decir $\frac{a}{10^n}$. - Para convertir $\frac{a}{10^n}$ a decimal: divide $a$ entre $10^n$. - Para convertir un decimal finito a fracción: escribe los dígitos después del punto como numerador y la potencia de 10 correspondiente como denominador, luego simplifica. Ejemplo: convertir $\frac{37}{1000}$ a decimal: $$\frac{37}{1000}=0.037$$ Ejemplo: convertir $0.48$ a fracción: $$0.48=\frac{48}{100}=\frac{12}{25}$$ ### Aproximación de fracciones no decimales - Para aproximar una fracción no decimal a $n$ decimales, divide y redondea al $n$-ésimo lugar. Ejemplo: aproximar $\frac{2}{3}$ a dos decimales: $$\frac{2}{3}=0.666\ldots\approx0.67$$ ### Ordenar fracciones y decimales - Convierte todo a un mismo formato (decimales o fracciones con mismo denominador) y compara. Ejemplo: ordenar $\frac{3}{8}$, $0.4$, $\frac{1}{2}$: convierto a decimal $\frac{3}{8}=0.375$, $\frac{1}{2}=0.5$, orden: $0.375$, $0.4$, $0.5$. Fun fact: ¿Sabías que las fracciones periódicas corresponden exactamente a números racionales cuyo denominador, en forma irreducible, no es potencia de 10? ## Operaciones con enteros, fracciones y decimales ### Suma y resta con signos > Definición: Para sumar o restar números con signo, usa la recta numérica o suma valores absolutos y ajusta signo según el mayor valor absoluto. Ejemplo: $-5+3=-2$, $4-(-7)=11$. ### Multiplicación y división con fracciones y decimales - Multiplicar fracciones: multiplica numeradores y denominadores: $$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$ - Dividir fracciones: multiplicar por la inversa: $$\frac{a}{b} : \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$ - Multiplicar decimales: multiplicar como enteros y colocar la coma con suma de cifras decimales. - Dividir decimales: mover punto para transformar el divisor en entero. Ejemplo fracciones: $$\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$ Ejemplo decimales: $1.25\times0.4=0.50$ (porque $125\times4=500$ y hay 3 decimales en total). Fun fact: ¿Sabías que multiplicar por 10, 100, 1000 en decimal equivale a desplazar la coma un lugar, dos lugares, tres lugares respectivamente? ## Proporcionalidad y variación ### Proporcionalidad directa > Definición: Dos magnitudes $x$ e $y$ son directamente proporcionales si existe $k$ tal que $y=kx$. - Encontrar constante: $k=\frac{y}{x}$. - Resolver tablas de variación mediante regla de tres. Ejemplo: si $3$ kg cuestan \$30, ¿cuánto cuestan $8$ kg? $$k=\frac{30}{3}=10\quad\Rightarrow\quad y=10\cdot8=80$$ ### Proporcionalidad inversa > Definición: $y$ es inversamente proporcional a $x$ si existe $k$ tal que $y=\frac{k}{x}$. Ejemplo: si 4 máquinas tardan 12 horas, 6 máquinas tardan $$t=\frac{4\cdot12}{6}=8\text{ horas}$$ ### Reparto proporcional - Distribuir una cantidad según proporciones dadas transformando proporciones en fracciones del total. Ejemplo: repartir 360 en partes proporcionales $2:3:5$ produce partes $72$, $108$, $180$. ## Porcentajes > Definición: El porcentaje es una forma de expresar fracciones en centésimas; $p\%$ de $A$ es $\frac{p}{100}A$. - Calcular tanto por ciento: $A\cdot\frac{p}{100}$. - Encontrar porcentaje: $\frac{parte}{total}\cdot100\%$. - Encontrar base: $base=\frac{parte}{p/100}$. Ejemplo: ¿Cuál es el 15% de 240? $$240\cdot\frac{15}{100}=36$$ Fun fact: ¿Sabías que el interés compuesto utiliza porcentajes aplicados repetidamente y puede expresarse con la fórmula $A=P\left(1+\frac{r}{n}