Resumen de Conceptos Fundamentales de Matemáticas

## Introducción Las técnicas para resolver sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones en dos variables son herramientas básicas del álgebra lineal que permiten modelar y resolver problemas reales: desde mezclar ingredientes hasta determinar intersecciones de trayectorias. En esta guía verás definiciones, métodos de solución (gráfico, sustitución, igualación, reducción y regla de Cramer), interpretación geométrica y resolución de sistemas de inecuaciones por regiones. > **Definición:** Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. La solución es el conjunto de valores que satisface todas las ecuaciones simultáneamente. ## Conceptos básicos ### Ecuación lineal en dos variables Una ecuación lineal en $x$ y $y$ tiene la forma $$ax + by = c$$ con $a$, $b$, $c$ constantes y $a$ y $b$ no ambos cero. Su representación gráfica es una recta. > **Definición:** Una recta en el plano cartesiano está dada por la ecuación $ax + by = c$; si $b\neq 0$ puede escribirse como $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$. ### Sistema de dos ecuaciones (2x2) Un sistema de dos ecuaciones lineales se escribe $$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$ Las posibles situaciones son: - Solución única: las rectas se intersecan en un punto. (Sistema compatible determinado) - Ninguna solución: rectas paralelas. (Sistema incompatible) - Infinitas soluciones: rectas coincidentes. (Sistema compatible indeterminado) ## Métodos de solución Se presentan métodos algebraicos y gráfico. ### 1) Método de sustitución 1. Despeja una variable en una de las ecuaciones: $x = f(y)$ o $y = g(x)$. 2. Sustituye en la otra ecuación y resuelve para una variable. 3. Sustituye de vuelta para obtener la otra variable. Ejemplo: $$\begin{cases} x + 3y = 6 \\ 5x - 2y = 13 \end{cases}$$ Despejar $x$ en la primera: $$x = 6 - 3y$$ Sustituir en la segunda: $$5(6 - 3y) - 2y = 13$$ $$30 - 15y - 2y = 13$$ $$-17y = -17$$ $$y = 1$$ Sustituir: $$x = 6 - 3(1) = 3$$ Solución: $(3,1)$. ### 2) Método de igualación 1. Despeja la misma variable en ambas ecuaciones. 2. Igualar ambas expresiones y resolver la ecuación resultante. Ejemplo (mismo sistema): Despejar $x$ en ambas ecuaciones y igualar conduce también a $y = 1$ y $x = 3$. ### 3) Método de suma y resta (reducción) 1. Multiplica ecuaciones para obtener coeficientes opuestos en una variable. 2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar esa variable. 3. Resuelve la ecuación resultante y sustituye. Ejemplo: $$\begin{cases} 2x - 9y = 8 \\ 3x - 7y = -1 \end{cases}$$ Multiplicar: $3\times$(Ecuación 1) y $-2\times$(Ecuación 2): $$6x - 27y = 24$$ $$-6x + 14y = 2$$ Sumando: $$-13y = 26$$ $$y = -2$$ Sustituyendo: $$3x - 7(-2) = -1$$ $$3x + 14 = -1$$ $$3x = -15$$ $$x = -5$$ Solución: $(-5,-2)$. ### 4) Método de determinantes (Regla de Cramer) Para el sistema $$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$ se definen los determinantes: $$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$$ $$D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - c_2 b_1$$ $$D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - a_2 c_1$$ Si $D\neq 0$: $$x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D}$$ Ejemplo: $$\begin{cases} x + 3y = 6 \\ 5x - 2y = 13 \end{cases}$$ $$D = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2) - 5(3) = -17$$ $$D_x = \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 13 & -2 \end{vmatrix} = 6(-2) - 13(3) = -51$$ $$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 13 \end{vmatrix} = 1(13) - 5(6) = -17$$ $$x = \frac{-51}{-17} = 3,\quad y = \frac{-17}{-17} = 1$$ > **Definición:** La regla de Cramer aplica cuando $D\neq 0$; si $D=0$ hay que analizar $D_x$ y $D_y$ para decidir si no hay solución o si hay infinitas soluciones. ## Interpretación geométrica - Cada ecuación lineal representa una recta en el plano. - Solución única: rectas oblicuas que se cortan en un punto (intersección). - Sin solución: rectas para