Resumen de Conceptos Fundamentales de Geometría

## Introducción La geometría elemental estudia las propiedades y relaciones de figuras planas y espaciales mediante definiciones, axiomas, postulados y teoremas. Este material cubre conceptos básicos que te permitirán identificar figuras, clasificar ángulos, reconocer tipos de triángulos y cuadriláteros, y trabajar con circunferencias, además de aplicar razonamiento lógico para justificar afirmaciones geométricas. ## Conceptos básicos y lenguaje lógico > **Definición:** Un **axioma** es una proposición aceptada sin demostración que sirve de base a un sistema. > **Definición:** Un **postulado** es una afirmación asumida para construir una teoría geométrica, similar a un axioma. > **Definición:** Un **teorema** es una proposición que se demuestra a partir de axiomas, postulados y teoremas previos. > **Definición:** Un **corolario** es una consecuencia directa de un teorema. > **Definición:** Un **punto** es la unidad básica de la geometría que indica posición sin dimensión. > **Definición:** Una **línea** es una sucesión continua de puntos en una sola dimensión. > **Definición:** Una **superficie** es una extensión bidimensional de puntos. > **Definición:** Dos rectas son **paralelas** si no se intersectan o si están en planos distintos y mantienen la misma dirección. > **Definición:** Dos rectas son **perpendiculares** si se intersectan formando un ángulo recto. ### Ejemplo práctico - Identifica en tu salón dos rectas paralelas: el borde superior y el borde inferior de una pizarra son ejemplos cotidianos. ## Ángulos > **Definición:** Un **ángulo** es la figura formada por dos semirrectas con el mismo origen (vértice). > **Definición:** Ángulo **agudo**: mide menos de $90^{\circ}$. Ángulo **recto**: mide exactamente $90^{\circ}$. Ángulo **obtuso**: mide entre $90^{\circ}$ y $180^{\circ}$. Ángulo **llano**: mide $180^{\circ}$. Ángulo **cóncavo**: mide entre $180^{\circ}$ y $360^{\circ}$. Ángulo **perigonal**: mide $360^{\circ}$. > **Definición:** Ángulos **complementarios**: suman $90^{\circ}$. Ángulos **suplementarios**: suman $180^{\circ}$. > **Definición:** Ángulos **opuestos por el vértice**: comparten vértice y tienen lados opuestos; son congruentes. > **Definición:** Ángulos **adyacentes**: comparten un lado y el vértice y no se superponen. ### Propiedades y ejemplos - Si un ángulo mide $40^{\circ}$, su complemento mide $50^{\circ}$ y su suplemento mide $140^{\circ}$. - En un reloj, la posición de las 3:00 forma un ángulo recto entre las manecillas mayormente. Did you know que la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre $180^{\circ}$? ## Triángulos > **Definición:** Un **triángulo** es una figura de tres lados y tres ángulos. > **Definición:** **Triángulo escaleno**: tres lados de distinta longitud. **Equilátero**: tres lados iguales. **Isósceles**: dos lados iguales. > **Definición:** **Triángulo acutángulo**: todos sus ángulos son agudos. **Obtusángulo**: tiene un ángulo obtuso. **Rectángulo**: tiene un ángulo recto. > **Definición (segmentos notables):** **Mediana**: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. **Altura**: segmento perpendicular desde un vértice al lado opuesto (o su extensión). **Mediatriz**: recta perpendicular que pasa por el punto medio de un lado. **Bisectriz**: semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos congruentes. > **Definición (centros):** **Incentro**: intersección de las bisectrices; centro del círculo inscrito. **Circuncentro**: intersección de las mediatrices; centro del círculo circunscrito. **Baricentro (centroide)**: intersección de las medianas. ### Ejemplo práctico - En un triángulo escaleno con vértices A, B, C, si la mediana desde A corta a BC en M, entonces BM y CM son iguales. Fun fact: el baricentro divide cada mediana en razón $2:1$, contando desde el vértice hacia la base. ## Paralelas y ángulos formados al cortar por una transversal > **Definición:** Rectas **paralelas** son líneas en el mismo plano