Resumen de Conceptos Fundamentales de Álgebra y Funciones

## Introducción La presente guía aborda conceptos fundamentales de Álgebra y Funciones orientados a estudiantes universitarios: resolución de inecuaciones lineales con fracciones, funciones inversas, funciones compuestas, análisis de funciones cuadráticas y factorización de polinomios. El objetivo es ofrecer explicaciones claras, ejemplos resueltos y ejercicios tipo examen para practicar. > **Definición:** Una inecuación es una desigualdad que contiene una o más incógnitas; resolverla significa hallar el conjunto de valores que la satisfacen. > **Definición:** La función inversa de una función $f$, denotada $f^{-1}$, es la función que deshace la acción de $f$, es decir, $f^{-1}(f(x))=x$ para todo $x$ en el dominio apropiado. > **Definición:** La composición de funciones $f\circ g$ se define por $\left(f\circ g\right)(x)=f\left(g(x)\right)$. ## 1. Inecuaciones lineales con fracciones ### Estrategia general 1. Identificar denominadores y llevar a un denominador común o multiplicar ambos lados por el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. Al multiplicar por una expresión que puede ser negativa, hay que considerar el signo; si se multiplica por una cantidad variable cuya positividad no está garantizada, es preferible llevar todos los términos a un lado y simplificar. 2. Pasar todas las expresiones a un solo lado y reducir términos semejantes. 3. Resolver la desigualdad resultante y escribir la solución en intervalo. > **Nota:** Si multiplicas ambos miembros por un número negativo, recuerda invertir el sentido de la desigualdad. ### Ejemplo resuelto (paso a paso) Resolver $$\frac{2x+3}{4} \geq \frac{x-1}{2} + \frac{5}{4}$$ Primero escribimos todo con denominador $4$: $$\frac{2x+3}{4} \geq \frac{2(x-1)}{4} + \frac{5}{4}$$ Sumamos términos en el lado derecho: $$\frac{2x+3}{4} \geq \frac{2x-2+5}{4} = \frac{2x+3}{4}$$ Restamos el término izquierdo al derecho: $$0 \geq 0$$ Esto es verdadero para todo $x$, por lo que la solución es $\mathbb{R}$. ### Tabla comparativa: pasos rápidos | Paso | Acción | Resultado esperado | |---|---:|---| | 1 | Igualar denominadores o despejar denominadores | Fracciones con mismo denominador | | 2 | Llevar todo a un lado | Inecuación en forma estándar | | 3 | Simplificar y resolver | Intervalo solución | Did you know que al resolver inecuaciones con fracciones, si todas las fracciones se reducen a la misma expresión en numerador y denominador la desigualdad puede ser identidad o imposible dependiendo de la igualdad entre numeradores? ## 2. Funciones inversas ### Método para encontrar la inversa 1. Partir de $y=f(x)$. 2. Intercambiar $x$ y $y$: $x=f(y)$. 3. Despejar $y$ en términos de $x$; la expresión resultante es $f^{-1}(x)$. 4. Comprobar que $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$ y $f^{-1}\left(f(x)\right)=x$ en dominios correspondientes. ### Ejemplos - Para $f(x)=2x+3$: Intercambia: $x=2y+3$. Despeja: $y=\frac{x-3}{2}$. Entonces $$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$ - Para $f(x)=-5x+2$: Intercambia: $x=-5y+2$. Despeja: $y=\frac{2-x}{5}$. Entonces $$f^{-1}(x)=\frac{2-x}{5}$$ - Para $f(x)=\dfrac{1}{x}$: Intercambia: $x=\dfrac{1}{y}$. Despeja: $y=\dfrac{1}{x}$. Aquí $f=f^{-1}$ en el dominio $x\neq 0$. - Para $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$: Intercambia: $x=\dfrac{y+1}{y-1}$. Multiplica: $x(y-1)=y+1$. Expande: $xy-x=y+1$. Agrupa términos en $y$: $xy-y=x+1$. Factoriza: $y(x-1)=x+1$. Despeja: $$f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-1}$$ En este caso la función es su propia inversa salvo restricciones en dominio ($x\neq 1$). ### Aplicaciones reales - Invertir transformaciones lineales en economía para pasar de precio observado a variable subyacente. - Recuperar entrada original de una codificación simple en informática. Fun fact: ¿Sabías que muchas funciones racionales de la forma $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ tienen inversas del mismo tipo y forman el grupo de transformaciones racionales de Möbius? ## 3. Funciones compuestas ### Definición rápida Si $f$ y $g$ son funciones, la composición $f\circ g$ se calcula sustitu