Conceptos Fundamentales de Álgebra y Funciones: Guía Completa
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Pregunta: Resuelve la inecuación: (2x+3)/4 ≥ (x-1)/2 + 5/4. ¿Cuál es la solución en x?
Respuesta: Multiplica por 4: 2x+3 ≥ 2(x-1)+5 ⇒ 2x+3 ≥ 2x-2+5 ⇒ 2x+3 ≥ 2x+3 ⇒ 0 ≥ 0, por tanto verdadera para todo x (solución: ℝ).
Pregunta: Resuelve la inecuación: (3x-5)/2 ≥ (x+7)/3. ¿Cuál es la solución en x?
Respuesta: Multiplica por 6: 3(3x-5) ≥ 2(x+7) ⇒ 9x-15 ≥ 2x+14 ⇒ 7x ≥ 29 ⇒ x ≥ 29/7.
Pregunta: Resuelve la inecuación: (4x+1)/5 ≤ (2x-3)/4 + 1/2. ¿Cuál es la solución en x?
Respuesta: Multiplica por 20: 4(4x+1) ≤ 5(2x-3)+10 ⇒ 16x+4 ≤ 10x-15+10 ⇒ 16x+4 ≤ 10x-5 ⇒ 6x ≤ -9 ⇒ x ≤ -3/2.
Pregunta: ¿Qué es la función inversa de f(x)=2x+3?
Respuesta: f^{-1}(x) = (x-3)/2.
Pregunta: ¿Cuál es la inversa de f(x)=-5x+2?
Respuesta: f^{-1}(x) = (2-x)/5.
Pregunta: ¿Cuál es la inversa de f(x)=9x?
Respuesta: La función f(x)=9x no aparece en el contenido; se listan como ejemplos: f(x)=√x (no es invertible sobre todo ℝ sin restringir dominio) y f(x)=1/x con
Pregunta: Para f(x)=2x^2-5 y g(x)=4x+1, ¿cuál es f(g(x))?
Respuesta: f(g(x)) = 2(4x+1)^2 - 5 = 2(16x^2+8x+1)-5 = 32x^2+16x+2-5 = 32x^2+16x-3.
Pregunta: Para f(x)=2x^2-5 y g(x)=4x+1, ¿cuál es g(f(x))?
Respuesta: g(f(x)) = 4(2x^2-5) +1 = 8x^2 -20 +1 = 8x^2 -19.
Pregunta: Para f(x)=2x+3 y g(x)=x^2+1, ¿cuál es f(g(x))?
Respuesta: f(g(x)) = 2(x^2+1)+3 = 2x^2+5.
Pregunta: Para f(x)=2x+3 y g(x)=x^2+1, ¿cuál es g(f(x))?
Respuesta: g(f(x)) = (2x+3)^2 +1 = 4x^2+12x+9+1 = 4x^2+12x+10.