Resumen de Composición de Funciones en Cálculo

## Introducción La composición de funciones es una operación que permite combinar dos funciones para obtener una nueva. Es una herramienta fundamental en cálculo y modelación, útil para describir procesos donde la salida de una etapa es la entrada de la siguiente. > **Definición:** Dados dos funciones $f$ y $g$, se dice que $f$ se puede componer con $g$ si $\operatorname{Rec}(g) \cap \operatorname{Dom}(f) \neq \emptyset$. En tal caso, la composición $f\circ g$ está definida por $$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$ ## Conceptos clave desglosados ### Dominio, rango y requisito de composición - **Dominio (Dom)**: Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de una función. - **Rango o Recorrido (Rec)**: Conjunto de valores que toma la función como salida. - Condición para componer $f$ con $g$: el recorrido de $g$ debe intersectar el dominio de $f$, es decir $\operatorname{Rec}(g) \cap \operatorname{Dom}(f) \neq \emptyset$. ### Notación y lectura - $f\circ g$ se lee “$f$ compuesta con $g$”. - Orden importa: $f\circ g$ generalmente no es igual a $g\circ f$. ## Cómo calcular una composición Pasos prácticos: 1. Asegurar que la composición esté definida: verificar $\operatorname{Rec}(g) \subseteq \operatorname{Dom}(f)$ o, al menos, intersección no vacía. 2. Sustituir: calcular $f(g(x))$ reemplazando cada aparición de la variable en $f$ por $g(x)$. 3. Determinar el dominio final: valores de $x$ en el dominio de $g$ que además hacen que $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$. ### Ejemplo 1 (sencillo) Sean $f(x)=x^{2}$ y $g(x)=\sqrt{x-1}$. Calcular $$(g\circ f)(x).$$ Sustituimos: $$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(x^{2}\right)=\sqrt{x^{2}-1}.$$ Dominio: requerimos $x^{2}-1\ge 0$, entonces $x\le -1$ o $x\ge 1$. ### Ejemplo 2 (conmutatividad no válida) Sean $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^{2}$. - $$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^{2}.$$ - $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^{2})=x^{2}+1.$$ Observa que $$(g\circ f)(x)\neq (f\circ g)(x).$$ ### Ejemplo 3 (varios casos) 1. $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^{2}$: $$(f\circ g)(x)=f(x^{2})=2x^{2}+1,$$ $$(g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1.$$ 2. $f(x)=\frac{3x-1}{1-2x}$, $g(x)=\sqrt{3x+5}$: $$(f\circ g)(x)=f\left(\sqrt{3x+5}\right)=\frac{3\sqrt{3x+5}-1}{1-2\sqrt{3x+5}}.$$ Dominio: primero $3x+5\ge 0$ $\Rightarrow x\ge -\frac{5}{3}$; además $1-2\sqrt{3x+5}\neq 0$ debe cumplirse. $$(g\circ f)(x)=g\left(\frac{3x-1}{1-2x}\right)=\sqrt{3\left(\frac{3x-1}{1-2x}\right)+5}=\sqrt{\frac{9x-3+5(1-2x)}{1-2x}}=\sqrt{\frac{9x-3+5-10x}{1-2x}}=\sqrt{\frac{-x+2}{1-2x}}.$$ Dominio: requiere que la fracción interior sea $\ge 0$ y que $1-2x\neq 0$. 3. $f(x)=2-x$, $g(x)=\begin{cases} x & \text{si } x<0 \\ x^{2} & \text{si } x\ge 0 \end{cases}$: - Para $x<0$, $g(x)=x$ entonces $$(f\circ g)(x)=f(x)=2-x.$$ - Para $x\ge 0$, $g(x)=x^{2}$ entonces $$(f\circ g)(x)=f(x^{2})=2-x^{2}.$$ - Para $g\circ f$ se sustituye la expresión $2-x$ en $g$: si $2-x<0$ (es decir $x>2$) entonces $g(2-x)=2-x$, si $2-x\ge 0$ (es decir $x\le 2$) entonces $g(2-x)=(2-x)^{2}$. Por tanto $$(g\circ f)(x)=\begin{cases} (2-x)^{2} & \text{si } x\le 2 \\ 2-x & \text{si } x>2 \end{cases}.$$ ## Tabla comparativa: $f\circ g$ vs $g\circ f$ | Aspecto | $f\circ g$ | $g\circ f$ | |---|---:|---:| | Orden de aplicación | primero $g$, luego $f$ | primero $f$, luego $g$ | | Expresión general | $f(g(x))$ | $g(f(x))$ | | Suelen ser iguales | Rara vez; solo si $f$ y $g$ conmutan sobre el dominio | Rara vez | | Dominio típico | Valores de $x$ en $\operatorname{Dom}(g)$ con $g(x)\in\operatorname{Dom}(f)$ | Valores de $x$ en $\operatorname{Dom}(f)$ con $f(x)\in\operatorname{Dom}(g)$ | ## Aplicaciones prácticas - Modelado en etapas: si una variable pasa por dos transformaciones sucesivas, se usa composición. Ejemplo: primer ajuste lineal, luego calibración no lineal. - Funciones trigonométricas y transformaciones: $\sin(\arccos(x))$ combina inversas y directas. - Programación y transformaciones de datos: pasar salida de una función como entrada a otra. Fun fact: Componer