Composición de Funciones en Cálculo: Guía Esencial para Estudiantes
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Pregunta: ¿Cuándo se puede componer una función f con otra g (condición de composición)?
Respuesta: Cuando el rango (Rec) de g intersecta el dominio (Dom) de f no es vacío: Rec(g) ∩ Dom(f) ≠ ∅.
Pregunta: ¿Cómo se denota y cómo se define la composición de f con g?
Respuesta: Se denota f ∘ g y se define por (f ∘ g)(x) = f(g(x)).
Pregunta: ¿Cómo se lee la notación f ∘ g?
Respuesta: "f compuesta con g" (f ∘ g se lee: f compuesta con g).
Pregunta: Si f(x)=x^2 y g(x)=√(x-1), ¿qué representa (g ∘ f)(x)?
Respuesta: (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = √(x^2 - 1), siempre que x^2 − 1 esté en el dominio de g.
Pregunta: ¿Siempre se cumple que g ∘ f = f ∘ g?
Respuesta: No. En general (g ∘ f) ≠ (f ∘ g).
Pregunta: Ejemplo práctico: si f(x)=x+1 y g(x)=x^2, ¿cuál es (g ∘ f)(x)?
Respuesta: (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (x+1)^2.
Pregunta: Ejemplo práctico: con f(x)=x+1 y g(x)=x^2, ¿cuál es (f ∘ g)(x)?
Respuesta: (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = x^2 + 1.
Pregunta: Dado f(x)=2x+1 y g(x)=x^2, ¿cómo se obtienen f ∘ g y g ∘ f?
Respuesta: f ∘ g: f(g(x)) = 2x^2 + 1. g ∘ f: g(f(x)) = (2x+1)^2.
Pregunta: Para f(x) = (3x-1)/(1-2x) y g(x)=√(3x+5), ¿qué hay que considerar al componerlas?
Respuesta: Hay que verificar que los valores de la función interna estén en el dominio de la externa (por ejemplo, que 3x+5 ≥ 0 si g tiene raíz) y luego sustitui
Pregunta: Si f(x)=2−x y g(x) es la función por partes g(x)=x si x<0, g(x)=x^2 si x≥0, ¿qué requiere calcular f ∘ g y g ∘ f?
Respuesta: Requiere evaluar la función interna según su rama y luego aplicar la externa; por ejemplo f ∘ g: 2 − g(x) con g según x<0 o x≥0; g ∘ f: aplicar g a 2−