Resumen de Cinemática y Dinámica del Cuerpo Rígido

## Introducción La cinemática de cuerpos rígidos estudia el movimiento de sistemas de partículas que mantienen entre sí distancias constantes. A diferencia de la partícula puntual, un cuerpo rígido puede experimentar traslación y rotación simultáneamente. En movimiento plano las relaciones entre velocidades y aceleraciones de puntos distintos del cuerpo se expresan mediante vectores de traslación y términos debidos a la rotación. > **Definición:** Un cuerpo rígido es un conjunto de partículas tal que la distancia entre cualesquiera dos de ellas permanece constante en el tiempo. ## Conceptos básicos ### Sistemas de referencia y descomposición del movimiento - Un movimiento general de un cuerpo rígido puede representarse como la suma de una traslación del origen de un sistema de referencia y una rotación en torno a ese origen. - Si tomamos dos puntos $A$ y $B$ del cuerpo, la relación entre sus velocidades es: $$\vec{v}_A = \vec{v}_B + \vec{\omega} \times \vec{r}_{A/B} + \vec{\psi}_{A/B}$$ Donde $\vec{\omega}$ es la velocidad angular y $\vec{\psi}_{A/B}$ representa velocidades relativas adicionales si la referencia no está fija al cuerpo (en la mayoría de problemas planos con referencia fija al cuerpo se anula). > **Definición:** $\vec{\omega}$ es el vector velocidad angular del cuerpo rígido; su dirección es el eje instantáneo de rotación y su sentido indica el giro. ### Velocidades y aceleraciones en movimiento plano - Velocidad lineal de un punto debido a rotación alrededor de $B$: $$\vec{v}_A = \vec{v}_B + \vec{\omega} \times \vec{r}_{A/B}$$ - Aceleración de un punto: $$\vec{a}_A = \vec{a}_B + \vec{\omega} \times \left(\vec{\omega} \times \vec{r}_{A/B}\right) + \vec{\gamma} \times \vec{r}_{A/B}$$ Donde $\vec{\gamma}=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}$ es la aceleración angular. > **Definición:** El término $\vec{\omega} \times \left(\vec{\omega} \times \vec{r}\right)$ es la aceleración centrípeta (o normal) del punto respecto al centro de rotación; $\vec{\gamma} \times \vec{r}$ es la aceleración tangencial. ### Movimiento plano - En movimiento plano el eje de rotación es paralelo a un vector fijo $\perp$ al plano de movimiento (habitualmente el eje $\hat{k}$). - Si $\vec{\omega}=\pm \omega\hat{k}$ y $\vec{\gamma}=\pm \gamma\hat{k}$, las operaciones vectoriales reducen a determinantes sencillos en componentes $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$. ## Centro instantáneo de rotación (CI o CIR) - El CI es el punto $Q$ del plano del cuerpo cuya velocidad instantánea es nula: $\vec{v}_Q=0$. - Para cualquier punto $A$: $$\vec{v}_A = \vec{\omega} \times \vec{r}_{A/Q}$$ - Propiedad útil: $\vec{v}_A \perp \vec{r}_{A/Q}$. - El CI puede estar dentro o fuera del cuerpo, y su aceleración no necesariamente es cero. > **Definición:** El Centro Instantáneo de Rotación es el punto del plano que, en un instante dado, tiene velocidad nula relativa al sistema de referencia considerado. ### Ubicación gráfica del CI - Conociendo las direcciones de velocidad de dos puntos distintos (líneas tangentes a sus trayectorias), las normales a esas direcciones que pasan por los puntos se cortan en el CI. Fun fact: ¿Sabías que el concepto de centro instantáneo de rotación facilita el análisis de mecanismos porque convierte un movimiento general en una rotación pura alrededor de un punto temporalmente definido? ## Rodadura sin deslizamiento - Condición: el punto de contacto con la superficie tiene la misma velocidad que la superficie (para superficie fija: $\vec{v}_{punto\ de\ contacto}=0$). - Para una rueda de radio $R$ que rueda sin deslizar: - Velocidad del centro: $v_C = \omega R$. - Aceleración del centro: $a_C = \gamma R$. - El punto de contacto tiene aceleración perpendicular al piso (componente normal debida a $\omega^2 R$ y componente tangencial por $\gamma$ según referencia usada). ## Ejemplo resuelto: cilindro que rueda (sin deslizamiento) Descripción: cilindro rueda a la derecha; punto de contacto con el piso es $Q$ con $\vec{v}_Q=0$. Se usan