Resumen de Cinemática y Dinámica de Cuerpos Rígidos

## Introducción La dinámica y movimientos de objetos rígidos aparecen en máquinas, vehículos y estructuras. Esta guía presenta conceptos clave, métodos de resolución y ejemplos prácticos para que un estudiante que no asiste a clases pueda comprender y practicar problemas típicos de rotación, momento de inercia, pares y energía rotacional aplicados a cuerpos rígidos. > Definición: Un cuerpo rígido es un objeto cuyas distancias entre puntos permanecen constantes durante el movimiento. ## Contenidos desglosados ### 1. Conceptos fundamentales - **Cuerpo rígido**: conjunto de partículas con distancias constantes. - **Rotación alrededor de un eje fijo**: todos los puntos describen círculos alrededor del eje. - **Velocidad angular** $\omega$ y aceleración angular $\alpha$. > Definición: La velocidad angular $\omega$ mide la rapidez de giro en rad/s y la aceleración angular $\alpha$ mide la variación de $\omega$ en rad/s^2. - Relación entre velocidad lineal y angular para un punto a distancia $r$ del eje: $v = r\,\omega$. - Aceleración tangencial y normal (centrípeta): $a_t = r\,\alpha$, $a_n = r\,\omega^2$. ### 2. Momento de inercia - El momento de inercia $I$ depende de la distribución de masa respecto al eje. > Definición: El momento de inercia $I$ de un cuerpo rígido respecto de un eje es $I = \sum m_i r_i^2$ para partículas, o la integral correspondiente para un cuerpo continuo. - Regla de ejes paralelos (teorema de Steiner): $$I_{O} = I_{CM} + M d^2$$ donde $d$ es la distancia entre el CM y el eje. - Momentos de inercia comunes: varilla alrededor de su centro, anillo, cilindro sólido, esfera sólida, etc. (usar tablas para comparar). ### 3. Dinámica de rotación - Ecuación análoga a $F = ma$ para rotación: $$\tau_{net} = I\,\alpha$$ donde $\tau$ es el torque neto. - Trabajo y energía rotacional: $$K_{rot} = \tfrac{1}{2} I\,\omega^2$$ - Cuando hay contacto sin deslizamiento entre ruedas/poleas y cuerdas, las velocidades y aceleraciones lineales de la periferia se relacionan por la condición de no deslizamiento. ### 4. Cuerpos que ruedan sin deslizar - Para rodadura sin deslizamiento hay relación $v_{CM} = R\,\omega$. - Energía total de un cuerpo rodante: $$K_{total} = \tfrac{1}{2} M v_{CM}^2 + \tfrac{1}{2} I_{CM} \omega^2$$ - Aceleración de un cilindro o rueda sometido a fuerzas externas puede hallarse combinando $\sum F = M a_{CM}$ y $\sum \tau = I\,\alpha$ con $a_{CM} = R\,\alpha$. ### 5. Sistema de poleas y transmisión por bandas - Para poleas rígidas solidarias (mismo eje): comparten $\omega$ y $\alpha$. - En bandas sin deslizamiento, la velocidad de la periferia de la polea y de la rueda enlazada son iguales en magnitud: $r_A\,\omega_A = r_B\,\omega_B$ si la dirección del desplazamiento es la misma. ### 6. Métodos de solución de problemas 1. Dibujar diagrama cinemático: ejes, radios, puntos relevantes. 2. Identificar ejes de rotación y masas puntuales o continuas. 3. Escribir relaciones cinemáticas (ej. $v = r\,\omega$, $a_t = r\,\alpha$). 4. Aplicar ecuaciones dinámicas: $\sum F = m a_{CM}$, $\sum \tau = I\,\alpha$. 5. Usar conservación de la energía cuando sea conveniente. 6. Verificar unidades y sentido de vectores (positivo/negativo). ### 7. Ejemplos prácticos (resueltos en esquema) - Ejemplo A — pala helicóptero: dada $\omega_0$ y $\alpha$ calcular $v$ y $a$ en puntos a radios distintos usando $v=r\,\omega$, $a_t=r\,\alpha$, $a_n=r\,\omega^2$ y descomponer vectores. - Ejemplo B — bicicleta de ruedas diferentes: número de revoluciones inversamente proporcional al radio, usar $\theta = \dfrac{s}{r}$ y que la distancia recorrida por ambas ruedas es la misma. - Ejemplo C — polea con correa: relacionar $\omega_A$ y $\omega_B$ por $r_A\,\omega_A = r_B\,\omega_B$ y calcular velocidades en puntos del borde. - Ejemplo D — rueda que rueda por carretera con aceleración del ciclista: relacionar aceleración del centro con aceleración angular por $a_{CM} = R\,\alpha$ y hallar velocidad superior del punto superior: $v_{sup}