Resumen de Cinemática Unidimensional

## Introducción La cinemática estudia cómo se mueve un cuerpo sin considerar las fuerzas que lo producen. En este material nos enfocamos en conceptos relacionados con los cambios de posición y velocidad en función del tiempo, y en cómo pasar de promedios a valores en un instante. Veremos ejemplos prácticos y procedimientos para calcular desplazamientos, velocidades medias e instantáneas y aceleraciones, con énfasis en el uso correcto del cálculo diferencial para obtener magnitudes instantáneas. ## Conceptos desglosados ### Desplazamiento y coordenadas > **Definición:** El desplazamiento es la variación de la posición de una partícula entre dos instantes y se calcula como la diferencia entre sus coordenadas finales e iniciales. - Si la posición viene dada por una función $x(t)$, el desplazamiento entre $t_1$ y $t_2$ es $$\Delta x = x(t_2)-x(t_1).$$ - El desplazamiento puede ser positivo o negativo dependiendo de la dirección del movimiento. ### Velocidad media > **Definición:** La velocidad media en un intervalo $[t_1,t_2]$ es el cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo. - Fórmula: $$v_{\text{med}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.$$ - La velocidad media es una medida global del cambio de posición por unidad de tiempo en el intervalo considerado. ### Velocidad instantánea (apróximación y límite) > **Definición:** La velocidad instantánea en el instante $t$ es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. - Procedimiento aproximado: calcular $$v_{\text{med}}(t,\Delta t)=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$$ para valores decrecientes de $\Delta t$ y observar la tendencia. - Definición exacta mediante límite: $$v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.$$ - En términos de cálculo, esta expresión es la derivada de la posición: $$v(t)=\frac{dx}{dt}.$$ ### Aceleración media e instantánea > **Definición:** La aceleración media en un intervalo es el cambio de velocidad dividido por el tiempo transcurrido; la aceleración instantánea es su límite cuando $\Delta t\to 0$. - Aceleración media: $$a_{\text{med}}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}.$$ - Aceleración instantánea: $$a(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}.$$ ## Ejemplo práctico resuelto (adaptado) Situación: Un animal parte desde $x(0)=20\,\mathrm{m}$ y su posición para los primeros $2.0\,\mathrm{s}$ está dada por una función $x(t)$ (ver sustituciones en cada caso). 1) Desplazamiento entre $t_1=1.0\,\mathrm{s}$ y $t_2=2.0\,\mathrm{s}$ - Calcule $\Delta x = x(2.0)-x(1.0)$ usando la expresión de $x(t)$ que se suministre. 2) Velocidad media en $[1.0,2.0]\,\mathrm{s}$ - Use $$v_{\text{med}}=\frac{\Delta x}{1.0\,\mathrm{s}}$$ para obtener el valor numérico. 3) Velocidad instantánea en $t=1.0\,\mathrm{s}$ por aproximación - Calcule $$v_{\text{med}}(1.0,\Delta t)=\frac{x(1.0+\Delta t)-x(1.0)}{\Delta t}$$ para $\Delta t=0.1\,\mathrm{s}$, $0.01\,\mathrm{s}$, $0.001\,\mathrm{s}$ y observe la convergencia. 4) Velocidad instantánea por derivación - Si $x(t)$ es diferenciable, obtenga $$v(t)=\frac{dx}{dt}$$ y evalúe en los instantes requeridos, por ejemplo $t=1.0\,\mathrm{s}$ y $t=2.0\,\mathrm{s}$. Ejemplo de aceleración (función de velocidad dada): - Si la velocidad se da por $$v(t)=60\,\mathrm{m/s}+(0.50\,\mathrm{m/s}^2)\,t^2,$$ entonces a) Cambio de velocidad entre $t_1=1.0\,\mathrm{s}$ y $t_2=3.0\,\mathrm{s}$: $$\Delta v = v(3.0)-v(1.0).$$ b) Aceleración media: $$a_{\text{med}}=\frac{\Delta v}{3.0-1.0}.$$ c) Aceleración instantánea por aproximación: $$a_{\text{med}}(t,\Delta t)=\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$$ para $\Delta t$ decrecientes en $t=1.0\,\mathrm{s}$. d) Aceleración instantánea por derivada: $$a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(60+(0.50)\,t^2\right)=1.0\,t.$$ Por tanto, $$a(1.0)=1.0\,\mathrm{m/s^2},\quad a(3.0)=3.0\,\mathrm{m/s^2}.$$ ## Tabla comparativa: media vs instantánea | Concepto | Definición | F